貝塞爾函式

2022-06-23 15:33:34 字數 708 閱讀 6452

貝塞爾函式(bessel function),是數學上的一類特殊函式的總稱,是貝塞爾方程的解(無法用初等函式系統表示),它們和其他函式組合成柱調和函式。除初等函式外,在物理和工程中貝塞爾函式是最常用的函式,它們以19世紀德國天文學家f.w.貝塞爾的姓氏命名,他在1824年第一次描述過它們。

一般貝塞爾函式是下列常微分方程(一般稱為貝塞爾方程)的標準解函式 \(y\left( x \right)\):

\(\fracy}}}} + x\frac}} + \left( - } \right)y = 0\)

或者 \(y'' + xy' + \left( - } \right)y = 0\)

作為一個二階常微分方程,上述函式必然存在兩個線性無關的解。並且,貝塞爾函式是在柱座標/球座標下使用分離變數法求解拉普拉斯方程或者亥姆霍茲方程式得到,因此貝塞爾函式在波動問題以及各種涉及有勢場的問題中佔有重要問題。

貝塞爾函式的具體形式隨著方程中實數引數 \(\alpha\) 變化,且 \(\alpha\) 被稱為貝塞爾函式的階數。實際應用中常見 \(\alpha\) 為整數 \(n\) ,對應 \(n\) 階貝塞爾函式。雖然公式中 \(\alpha\) 的正負性不改變函式形式,實際應用中習慣針對 \(\alpha\) 和 \(-\alpha\) 定義兩種不同的貝塞爾函式,有一些好處(比如消除函式在 \(\alpha=0\) 處的不光滑性),多 \(\alpha\ge 0\)。

貝塞爾函式的求解可以參考知乎文章。