一類巧妙利用利用失配樹的序列DP

2022-06-28 06:27:06 字數 1286 閱讀 5083

求長度為\(\text\)的包含給定連續子串\(\text\)的 0/1 串的個數。(\(|t|<=15\))

通常來說這種題目應該立刻聯想到狀壓 dp 與取反集——這樣就不用考慮大量重複情況的容斥問題。設\(f_\)表示前\(i\)個字元、最後\(|t|\)個字元為\(s\)、不包含給定連續子串的情況數,狀態轉移方程簡單不述。時間複雜度 \(\theta(2^\text)\)。

上述演算法的時間複雜度相當高昂,當\(\text\)十分大或者不是乙個 0/1 串而是乙個字串的時候完全不可做,並且大量的狀態是無用的,因為我只關心不出現給定的字串,然而相當多的狀態不用轉移已經注定了不可能出現給定字串,用狀態壓縮表示表示整段的完整狀態非常虧本。重磅的優化來了:

我們在 dp 狀態的設定上模擬 kmp 演算法的過程。設\(f_\)表示前\(i\)個字母、已經匹配到了模式串的\(j\)時有多少種情況。那麼狀態轉移也依照 kmp 演算法:列舉當前點的\(j\)並列舉下乙個點填的字元,在失配樹上找到下乙個點的\(j\),把\(f\)累加過去,時間複雜度\(\theta(\text|t|^2s)\),其中\(s\)是字元種類數。

當然不止可以在模式串上加強,還可以在文字串上加強:當\(\text\)是天文數字的時候,我們完全可以用矩陣快速冪優化上述過程,時間複雜度是\(log\)的。

反集轉換肯定是要想到的,但是到了這一步後狀態設定完全無法下手,三段的序列和你設什麼狀態都不是。注意到三段和的大小都非常小,連續的這麼三段的長度的總數都非常少,總數只有\(2^\)個。那麼我們這些模式串全部列舉出來,問題就轉化為不出現這些字串的字串的個數。把模式串丟進乙個 trie 裡面建出 ac 自動機,然後把每個終止點在失配樹中的子樹的結點都打上標記——不可轉移,然後就跟上題一模一樣了。

考慮這東西有了兩列怎麼辦。我們使用一種巧妙的輪廓線 dp:設\(f_\)表示到了點\((i,j)\)、輪廓線上的狀態是\(\text\)、當前行與模式串的第一行匹配到\(x\)、與第二行匹配到\(y\)時的方案數。輪廓線的狀態由 0/1 組成,表示它的字尾是否能夠與模式串的第一行完全匹配。狀態轉移方程顯然,前兩維可以滾動掉,後面的維度需要大量的 memset (大概二十億?),所以還是會超時。解決辦法是把所有變數和陣列都放進 register,這樣刷表的速度就可以上天。這種解法就是這題目前的最優解法了。

處理包含一種模式串的字串總數,應該轉化為求不包含它的字串數,這個問題可以用 kmp 的思想大大優化。

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