這道題是密碼學的作業，開始不會寫，答案只有結果而沒有過程，後來查了一些資料才算是搞明白了。
題目如下：
(a) 下述的偽隨機數發生器可獲得的最大週期是多少？解答如下：\[x_=(ax_n)\mod
\](b) 這時 a 為多少？
(c) 對種子有什麼要求？
首先引入這樣乙個結論：對任意的奇數\(a\)與正整數\(n\)，有：\(a^≡1\pmod}\)。用歸納法證明這個結論：若\(a\)與\(2^4\)不互素，即\(a\)為偶數，令\(a=2k\)，則當\(n=1\)時，存在整數\(b\)，\(c\)，使得
\[a^=(2b+1)^2=4b(b+1)+1=2^3c+1≡1\pmod
\]假設當\(n=k\)時，命題成立，即
\[a^≡1\pmod}
\]則存在整數\(c\)，使得
\[a^=2^c+1
\]當\(n=k+1\)時，存在整數\(k\)，\(b\)，使得
\[a^}=(2^c+1)^2=2^c^2+2·2^c+1=2^c(2^c+1)+1≡1\pmod}
\]即當\(n=k+1\)時，命題成立。
由1，2可得，該命題成立。
\[a^4=16k^4≡0\pmod
\]從而
\[0=x_≡a^4x_n\pmod
\]產生的第四個數之後全為0，所以\(a\)與\(2^4\)互素。
又因為\[a^≡1\pmod}
\]所以
\[a^}=a^4≡1\pmod
\]從而
\[a^4x_n≡x_n\pmod\]即
\[x_=x_n
\]所以最大週期為4。
由(a)可知，\(a\)為奇數。
經計算，\(a=7,9,15\)時，週期為2。
\(a=3,5,11,13\)時，週期為4。
種子必須為奇數，否則週期會不大於2。
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