求樹上k級祖先

在學習澱粉質的時候，看到了p4292 [wc2010]重建計畫這道題，發現可以用長鏈剖分來做。就學一下。

長鏈的概念和重鏈相似

點\(x\)的長鏈指的是從\(x\)出發，到達的子樹中深度最深的兒子所經過的路徑

\(x\)所在的長鏈上的兒子稱之為長兒子♂

和輕重鏈剖分類似，通過樹上存在的長鏈，把一棵樹分割成幾條不相交的路徑

就變成了這樣

意思是一條長鏈上深度最小的節點，也就是最頂上的那個點。

對樹進行長鏈剖分之後所有的長鏈的長度的和為\(n\)

顯然任意乙個點\(x\)的\(k\)級祖先\(y\)所在長鏈長度一定\(\geq k\)。

證明:若他們兩個在同一條長鏈上

上面可能有一些，下面還可能有一點

顯然成立

若他們兩個不在同一條長鏈上

考慮最接小的的情況

因為不在同乙個長鏈上，所以\(y\)在的那一條長鏈的深度一定比\(x\)在的那條長鏈的深度\(+k\)要長

所以\(y\)在的那一條長鏈的長度\(\geq k\)。

由於長鏈剖分根據深度大小進行剖分，因此可以解決一些與深度有關的問題。

傳送門預處理

對樹進行長剖，記錄每個節點所在鏈的頂點和深度。\(o(n)\)

樹上倍增求出每個節點的\(2^n\)祖先，\(o(n\log_2 n)\)

對於每條鏈，如果其長度為\(len\)，那麼在頂點處記錄頂點向上的\(len\)個祖先和向下的\(len\)個鏈上的兒子，\(o(n)\)

對於\(i\in [1,n]\)求出二進位制下的最高位\(h_i\)，\(o(n)\)

對於每一次詢問\(x\)的\(k\)級祖先

利用倍增跳到\(2^\)級祖先，設剩下還有\(k'\)級，顯然\(k' < 2^(h_k)\)，因此此時\(x\)所在的長鏈的長度\(len\geq 2^>k'\)

由於長鏈長度\(>k'\)，因此可以將\(x=top_x\)，若之後剩下的級數為正，就利用向上的陣列來求答案，反之毅然

這樣時間複雜度為\(o([1, n\log_2 n])\)了

code

#include #define ll long long

#define ui unsigned int
using namespace std;
const int maxn = 500010;
ui s;
inline ui get(ui x) 
int n, q, fa[maxn][32], g[maxn]; //g[x] ---- log2 x
vectornbr[maxn];
int root, dep[maxn], d[maxn]; 
//dep[i]----max deep of node i 
//d[i]---node i's deep
int top[maxn], son[maxn];
vectorup[maxn], dn[maxn];
void pre(int cur)
return ;
}void dfs(int cur, int p)
if(son[cur]) dfs(son[cur], p);
for(int i = 0; i < nbr[cur].size(); i ++)
return ;
}int ask(int x, int k) // x's k-level father
int main()
// cout << "asdaw";
root = nbr[0][0];
pre(root);
dfs(root, root);
// cout << "&*^*$*(";
dfs(root, root);
int lastans = 0, x = 0, k = 0;
ll ans;
for(int i = 1; i <= q; i ++)
cout << ans;
return 0;
}

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