二元一次方程：
\[\begin
2x - y = 0 \\
-x + 2y = 3
\end
\]寫成矩陣乘法形式：
\[\begin
2 & -1 \\
-1 & 2 \\
\end
\begin
x \\
y \\
\end
\begin
0 \\
-3 \\
\end
\]一般形式為：\(ax = b\)
可以表示為線性組合的形式：
\[x\begin
2 \\
-1\end
+ y\begin
-1 \\
2\end
= \begin
0 \\
-3\end
\]也可以表示為點乘的形式：
\[\begin
(2, -1) \cdot (x, y) = 0 \\
(-1, 2) \cdot (x, y) = 3
\end
\]注：本節涉及到的矩陣都是方陣
方程\(ax = b\)，對任意向量\(b\)有唯一解，則\(a\)是可逆的。記\(a\)的逆為\(a^\)，有\(aa^ = a^a = i\)
設：\[u =
\begin
u_1 \\
u_2 \\
u_3\end,
v =
\begin
v_1 \\
v_2 \\
v_3\end,
w =
\begin
w_1 \\
w_2 \\
w_3\end
\]若\(a = (u, v, w)\)可逆，則\(u, v, w\)的全部線性組合是整個\(3\)維空間。此時\(0\)寫成\(u, v, w\)的線性組合只有一種可能：\(0 = 0u + 0v + 0w\)。這時我們稱向量\(u, v, w\)線性無關。相應\(ax = 0\)只有零解。
若\(0\)可以寫成\(u, v, w\)的多種線性組合，那麼稱矩陣\(a = (u, v, w)\)是奇異的。向量\(u, v, w\)是線性無關的。
行圖
列圖總結一般地，設\(a = (v_1, \dots, v_n)\)為\(n \times n\)矩陣，\(x = (x_1, \dots, x_n)^t\)，\(b = (b_1, \dots, b_n)^t\)。方程組\(ax = b\)的每行表示一條直線\((n = 2)\)，或一張平面\((n = 3)\)，或一張超平面\((n > 3)\)。
解方程組\(\leftrightarrow\)考察這些直線或平面或超平面是否有交點\(\leftrightarrow\)求\(x_1, \dots, x_n\)滿足\(x_1v_1 + \dots + x_nv_n= b\)
方程組對任意\(b\)有唯一解\(\leftrightarrow\)
\(a\)可逆，此時\(x = a^b\)（\(x\)可表示為\(a^\)的列向量的線性組合）
矩陣與線性方程組
以下內容主要引用自 deep learning 中文版 1 線性方程組以矩陣的形式表達如下，其中是乙個已知矩陣，也就是乙個m行n列的矩陣 是乙個已知向量 m行1列 是乙個我們要求解的未知向量 n行1列 矩陣a中的每乙個行和b中對應的元素構成乙個約束，所以線性方程可以換種表達方式 用a的每一行和x向量...
線性方程組
給出乙個線性方程組的標準形式 a11x1 a12x 2 a1nx na21x 1 a22 x2 a2n xnan 1x1 an2x 2 annx n b1 b2 bn 1x 2y 34x 5y 6 1 2 這裡由克萊姆法則進行計算得出xy 3625 14 25 3 5 2 61 5 2 4 3 3 ...
線性方程組
若線性方程組相容，則此方程組有1個或無窮多個解 若線性方程組不相容，則該方程組無解。線性方程組所有解的集合被稱為線性方程組的解集 若線性方程組不相容，則解集為空集。若兩個含有相同變數的方程組具有相同的解集，則稱它們是等價的。有三種運算可以得到等價的方程組 交換任意兩個方程的順序 任一方程兩邊同乘乙個...