2. b樹
b 樹是為了磁碟或其它儲存裝置而設計的一種多叉（相對於二叉，b樹每個內結點有多個分支，即多叉）平衡查詢樹
一棵b樹，一棵關鍵字為英語中子音字母的b樹，現在要從樹中查詢字母r（包含n[x]個關鍵字的內結點x，x有n[x]+1個子女（乙個內結點x若含有n[x]個關鍵字，那麼x將含有n[x]+1個子女），所有的葉結點都處於相同的深度，帶陰影的結點為查詢字母r時要檢查的結點）：
從上圖輕易的看到，乙個內結點x若含有n[x]個關鍵字，那麼x將含有n[x]+1個子女；如含有2個關鍵字d h的內結點有3個子女，而含有3個關鍵字q t x的內結點有4個子女。
2.1用階定義的b樹
b 樹又叫平衡多路查詢樹。一棵m階的b 樹 (注：切勿簡單的認為一棵m階的b樹是m叉樹，雖然存在四叉樹，八叉樹，kd樹，及vp/r樹/r*樹/r+樹/x樹/m樹/線段樹/希爾伯特r樹/優先r樹等空間劃分樹，但與b樹完全不等同)的特性如下：
樹中每個結點最多含有m個孩子（m>=2）；
除根結點和葉子結點外，其它每個結點至少有[ceil(m / 2)]個孩子（其中ceil(x)是乙個取上限的函式）；
若根結點不是葉子結點，則至少有2個孩子（特殊情況：沒有孩子的根結點，即根結點為葉子結點，整棵樹只有乙個根節點）；
所有葉子結點都出現在同一層，葉子結點沒有孩子和指向孩子的指標，含有關鍵字資訊(可以看做是外部結點或查詢失敗的結點，實際上這些結點不存在，指向這些結點的指標都為null)；
每個非終端結點中包含有n個關鍵字資訊： (n，p0，k1，p1，k2，p2，......，kn，pn)。其中：
a) ki (i=1...n)為關鍵字，且關鍵字按順序公升序排序ki-1
<
ki。
b)
pi為指向子樹根的結點，且指標pi-1指向子樹中所有結點的關鍵字均小於ki，但都大於ki-1。
c)
關鍵字的個數n必須滿足： [ceil(m /
2)-1]<= n <= m-1。如下圖所示：
b樹中每乙個結點能包含的關鍵字（如前面的d h和q t x）數有乙個上界和下界，這個下界可以用乙個稱作b樹的最小度數（演算法導論中文版上譯為度數，最小度數即內結點中結點最小孩子數目）m（m>=2）表示。
2.2用度定義的b樹
l 每個非根的內結點至多有m個子女，每個非根的結點必須至少含有m-1個關鍵字，如果樹是非空的，則根結點至少包含乙個關鍵字；
l 每個結點可包含至多2m-1個關鍵字。所以乙個內結點至多可有2m個子女。如果乙個結點恰好有2m-1個關鍵字，我們就說這個結點是滿的（b樹要求至少半滿）；
l 當關鍵字數m=2（t=2的意思是，mmin=2，m可以》=2）時的b樹是最簡單的（因此易誤認為b樹就是二叉查詢樹，但二叉查詢樹就是二叉查詢樹，b樹就是b樹，b樹是一棵含有m（m>=2）個關鍵字的平衡多路查詢樹），此時，每個內結點可能因此而含有2個、3個或4個子女，亦即一棵2-3-4樹，然而在實際中，通常採用大得多的t值。
b樹中的每個結點根據實際情況可以包含大量的關鍵字資訊和分支(當然不能超過磁碟塊的大小，根據磁碟驅動(disk drives)的不同，一般塊的大小在1k~4k左右)；這樣樹的深度降低了，這就意味著查詢乙個元素只要很少結點從外存磁碟中讀入記憶體，很快訪問到要查詢的資料。
2.3 b樹的型別和節點定義
b樹的型別和節點定義如下圖所示：
2.4檔案查詢的具體過程(涉及磁碟io操作)
為了簡單，用少量資料構造一棵3叉樹的形式，實際應用中的b樹結點中關鍵字很多。上面的圖中比如根結點，其中17表示乙個磁碟檔案的檔名；小紅方塊表示這個17檔案內容在硬碟中的儲存位置；p1表示指向17左子樹的指標。
其結構可以簡單定義為：
typedef struct btnode;
假如每個盤塊可以正好存放乙個b樹的結點（正好存放2個檔名）。那麼乙個btnode結點就代表乙個盤塊，而子樹指標就是存放另外乙個盤塊的位址。
模擬下查詢檔案29的過程：
根據根結點指標找到檔案目錄的根磁碟塊1，將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟io操作 1次】
根據p2指標，我們定位到磁碟塊3，並將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟io操作 2次】
根據p2指標，我們定位到磁碟塊8，並將其中的資訊匯入記憶體。【磁碟io操作 3次】
此時記憶體中有兩個檔名28，29。根據演算法我們查詢到檔名29，並定位了該檔案記憶體的磁碟位址。
分析上面的過程，發現需要3次磁碟io操作和3次記憶體查詢操作，關於記憶體中的檔名查詢，由於是乙個有序表結構，可以利用折半查詢提高效率，至於io操作是影響整個b樹查詢效率的決定因素。
當然，如果使用平衡二叉樹的磁碟儲存結構來進行查詢，磁碟4次，最多5次，而且檔案越多，b樹比平衡二叉樹所用的磁碟io操作次數將越少，效率也越高。
2.5 b樹的高度
根據上面的例子可以看出，對於輔存做io讀的次數取決於b樹的高度，而b樹的高度由什麼決定的呢？
若b樹某一非葉子結點包含n個關鍵字，則此非葉子結點含有n+1個孩子結點，而所有的葉子結點都在第i層，可以得出：
因為根至少有兩個孩子，因此第2層至少有兩個結點。
除根和葉子外，其它結點至少有┌m/2┐個孩子，
因此在第3層至少有2*┌m/2┐個結點，
在第4層至少有2*(┌m/2┐^2)個結點，
在第 i 層至少有2*(┌m/2┐^(l-2)
)個結點，於是有：n+1 ≥ 2*┌m/2┐i-2；
考慮第l層的結點個數為n+1，那麼2*(┌m/2┐^(l-2)）≤n+1，也就是l層的最少結點數剛好達到n+1個，即：
i≤ log┌m/2┐((n+1)/2 )+2；
所以這個b樹的高度公式從側面顯示了b樹的查詢效率是相當高的。
問題：一棵含有n個總關鍵字數的m階的b樹的最大高度是多少?
答：log_ceil（m/2）(n+1)/2 + 1 （上面中關於m階b樹的第1點特性已經提到：樹中每個結點含有最多含有m個孩子，即m滿足：ceil(m/2)<=m<=m。而樹中每個結點含孩子數越少，樹的高度則越大，故如此）。
資料結構 B樹（B Tree）
b樹是乙個平衡的多路搜尋樹，每個節點可以儲存多個元素。對於m階b樹 m 2m 2 m 2 設其任意節點儲存元素的個數為x，那麼 舉些例子 當m 2時，非根節點子節點個數 1 y 21 leq y leq 2 1 y 2，故稱為 1,2 樹，就是二叉搜尋樹。當m 3時，非根節點子節點個數 2 y 32...
b tree資料結構視覺化 資料結構之B 樹
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資料結構 B樹，B 樹
注意b 樹就是b樹,只是乙個符號.簡介b b 樹是為了磁碟或其它儲存裝置而設計的一種平衡多路查詢樹 相對於二叉,b樹每個內節點有多個分支 與紅黑樹相比,在相同的的節點的情況下,一顆b b 樹的高度遠遠小於紅黑樹的高度 在下面b b 樹的效能分析中會提到 b b 樹上操作的時間通常由訪問磁碟的時間和c...