我們需要求t mod n 的結果,設蒙哥馬利約減演算法為f,可以做到f(x)=x\(\times\)r' mod n
r為進製數或進製數的冪次,在計算機當中,設n的2進製位數為s,r可以取2^s,且與n互質
比如2進製數,r=2;
10進製數,r=10;
2^30 進製,r=2^30;
如此這樣,某個r進製的數乘除以及modr就是在移位和取低位操作
其中r'滿足條件: \(r \times r' \ mod n=1\)
等價於方程\(x \times r -y \times n=1\)
由r和n求r'和n'可以利用擴充套件歐幾里得求這個方程\(x \times r -y \times n=1\)
求得x y的整數解 x=r' y=n'
可以得到\(r \times r' -n \times n'=1\)
即\(rr' -nn'=1\)
如此我們要想得到t mod n 則需要計算 \(f(t\times r)=t \times r \times r' \ mod\ n =t \ mod\ n\)
計算\(t \times r' \ mod\ n\)
\(rr' -nn'=1\)
不寫乘號了,接下來省略乘號,看起來好像有點奇怪
對這個方程 mod n可以得到\(rr' \ mod\ n=1\)
即r'和r在mod n運算下互為逆元且r'\(\in\)(0,n)
對這個方程 mod r可以得到\(-nn' \ mod\ r=1\)
即n'和(-n)在mod r運算下互為逆元且n'\(\in\)(0,r),後面會用到這個條件
接下來有
設\(t\in [0,r*n)\)??這個我暫時不知道還有什麼深意,僅僅是後面那個範圍判斷?
注意這個t應該是下面那個函式引數裡的t,並不是單純的上面一開始的那個t,傳入引數f(tr),tr整體就是函式中的t了
\(t=t \times (rr' -nn')\)
\(t+tn'n=trr'\)
令\(m=tn'\)
有\(t+mn=trr'\)
有\((t+mn)/r=tr'\)
關於上面這個式子有乙個非常有意思的角度看待它
在與t同餘的數中，選取乙個低位有bitlen個0，且高位小於n的數，去掉該數低位的bitlen個0，所得的數即為（t+mn）/r,bitlen為模數n的位數
有興趣的去看一下這篇文章
這說明對任意的\(t\in [0,r*n)\),存在整數m使得上式沒有餘數,即完全整除,是個整數
\(tr' \ mod\ n=(trr')/r \ mod\ n=t(n'n + 1)/ r\ mod\ n=(tn'n+krn+t)/r \ mod\ n=((tn'+kr)n+t)/r \ mod\ n,k為任意整數\)
如此的話,我們把tn'中的所有r全部消去,即對tn'做mod r不影響結果,因為k可以設為負值達到這個效果
所以在計算\(m=tn'時可以用m=tn'\ mod\ r\)代替
//rr' -nn'=1
f(t)=tr' mod n
int f(int t)
return t;
}
由\(m,n' \in (0,r)\),\(t\in [0,r*n)\)
t=(t+mn)/r<(rn+rn)/r=n+n=2n,即t<2n,所以有上面那個if
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