JYU程式設計決賽題解與思考（更新中）

被綠的小華

題目大意就是給出乙個01串表示的二進位制數是否為3的倍數。

方法1：暴力

直接用快速冪暴力求解，求解的過程中同時模3。

1 #include2 #include3 #include

4 #include5 #include6 #include7
#define maxn 10000
8#define int long long
9#define mod 3
10using
namespace
std;
11int n,m,ans=0;12
inta[maxn];
13 inline int pow_(int x,int
n)21
return cnt%mod;22}
23signed main()
2432}33
if(ans==0) cout<
<
34else cout<
<
35return0;
36 }

1 #include2 #include3 #include4 #include

5 #include6 #include
7 #include8 #include9 #include10 #include11 #include12 #include13
#define sc scanf
14#define pr printf
15#define maxn 10001
16#define inf 9999999999
17#define endd puts("");
18#define int long long
19#define il inline
20#define pi 3.1415926535898
21#define inf_min -214783647
22using
namespace
std;
23 il int
read() 
27while (ch>='
0'&&ch<='
9') 
28return s *f;29}
30/*
*****************************head****************************************
*/31
int pow_(int a,int
n)39
return
cnt;40}
41signed main()
4251}52
if(abs(num1-num2)%3==0) cout<
;53else cout<
;54return0;
55 }

2^2=2^0*4;

2^2%3=(2^0%3)*(4%3)=(2^0%3)*1=2^0%3=1;

則2^2%3==2^0%3;

2^4%3=(2^2%3)*(4%3)=(2^2%3)*1=2^2%3=2^0%3=1;

則2^4%3==2^2%3==2^0%3;

以此類推

(2^2n)%3=2^(2(n-1))%3*(4%3)=2^(2(n-1))%3*1=2^(2(n-2))%3*(4%3)……=2^(2(n-n))%3*4%3=2^0*(4%3)=2^0*1=1*1;

得(2^2n)%3=2^0*1=1;

而二進位制數的奇數字同理可證得(2^(2n+1))%3=2^1%3=2;

從而得出乙個二進位制數的奇數字%3為2，二進位制數的偶數字%3為1;

奇數字1的個數與偶數字1的個數的差有兩種情況：

（1）奇數字1的個數與偶數字1的個數相等；

若乙個二進位制數有n個奇數字的1，m個偶數字的1，且n=m，由上面證得的結論可知二進位制數的奇數字%3為2，偶數字%3為1；

則這個二進位制數%3的值為n(1+2)%3=3n%3=0，這個二進位制數能被3整除；

（2）奇數字1的個數與偶數字1的個數不等；

若乙個二進位制數有n個奇數字的1，m個偶數字的1，且n>m，由上面證得的結論可知二進位制數的奇數字%3為2，偶數字%3為1；

則這個二進位制數%3的值為m(1+2)%3+(n-m)*2%3，若n-m%3==0，則(n-m)*2%3==0，可得結論若奇數字的1大於偶數字的1的個數且個數差為3的倍數，則該二進位制數是3的倍數;

若乙個二進位制數有n個奇數字的1，m個偶數字的1，且n

則這個二進位制數%3的值為n(1+2)%3+(n-m)*1%3，若n-m%3==0，則(n-m)*1%3==0，可得結論若奇數字的1小於偶數字的1的個數且個數差為3的倍數，則該二進位制數是3的倍數;

綜上所述可證得：二進位制數的奇數字1的個數與偶數字1的個數的差能被3整除，則這個數是3的倍數。

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