分治思想及樹上點分治

分治思想在oi中是一種常見的思想。分治的基本思想是將乙個規模為n的問題分解為k個規模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題性質相同。求出子問題的解，就可得到原問題的解。即一種分目標完成程式演算法，簡單問題可用二分法完成。

當我們求解某些問題時，由於這些問題要處理的資料相當多，或求解過程相當複雜，使得直接求解法在時間上相當長，或者根本無法直接求出。對於這類問題，我們往往先把它分解成幾個子問題，找到求出這幾個子問題的解法後，再找到合適的方法，把它們組合成求整個問題的解法。如果這些子問題還較大，難以解決，可以再把它們分成幾個更小的子問題，以此類推，直至可以直接求出解為止。這就是分治策略的基本思想。

總結來說，分治就是「分而治之」，可以把乙個複雜的問題簡單化，從全域性變成區域性，逐漸縮小問題的規模，更加高效的解決問題。

在我們計算機入門的過程中，其實分治思想已經接觸得不少了。最基礎又經典的例子便是快速排序，歸併排序和快速冪。

不妨先來複習一下這三種「基本功」：

快速排序：

void qsort(int l,int
r) qsort(l,j-1
); qsort(j,r);
}

歸併排序：

void msort(int l,int
r) 
while(ib[k++]=a[i++];
while(jb[k++]=a[j++];
memcpy(a+l,b+l,(r-l)*sizeof(int
));}

快速冪(非遞迴)：

int pow(int x,int
y)}

快速冪(遞迴)：

int pow(int x,int
y) 
return
ans ;
}

將這幾段**互相比較，便可以較為容易地加深對分治思想的理解。以後在一些高階的演算法中也會經常用到分治思想。

例如：矩陣乘法快速冪加速遞推

cdq分治

整體二分

快速傅利葉變換

快速沃爾什變換

莫比烏斯變換

辛普森積分等等。

以上的一些問題大多數都屬於序列分治的範疇內。了解了分治思想之後，將其與樹上問題結合起來，便是我們的樹上分治了。由於樹上的點分治在樹的分治問題中操作相對簡單，用途廣泛，本文主要深入研究樹上的點分治問題。

首先，樹上點分治是用來幹什麼的呢？通常用來處理樹上路徑統計問題。先選取乙個部分，統計經過這個部分的全部路徑數，再遞迴地處理該部分的每乙個子樹，易知，「部分」的選取在樹的點分治問題中十分重要。一般我們採取的方式是，對於乙個節點，處理出其左子樹資訊，再處理出右子樹資訊，然後將兩部分的資訊結合起來，放在一起統計，從而達到分治處理樹的統計問題的目的。那麼我們上文也已經提到，「部分」，即分治中心不能隨意選取，一般我們選取重心，原因與時間複雜度有關，論證較為複雜，在此不多贅述。重心的求法在以前樹上問題的學習中應該已經明確，這裡給出**：

void getroot(int x,int
fa) }
mx[x]=max(mx[x],sn-si[x]);
if(mx[root]>mx[x])
root=x;
}

求出重心之後，利用樹中所有點到重心的距離，統計滿足條件的路徑，然後遞迴子樹，繼續進行分治過程。在統計的過程中，一般情況下我們可以通過單步容斥原理，即用「從子樹中任意選出兩個點」的結果減去「從同乙個兒子的子樹中任意選出兩個點」的結果，得到每次分治的結果。對於 x 的每乙個兒子，用同樣的方法便可得到正確統計結果。注意，在用單步容斥原理時需要滿足乙個條件，即統計結果可以逆運算，如果不存在逆運算，最典型的例子便是統計最大值和最小值，像這樣的問題只能就題論題，通過特殊方法加以解決。

兩道模板題：poj 1741 bzoj 2152

最裸的點分治練習題，初學者可以嘗試一下。其中bzoj 2152題解戳

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