線性函式/對映 $f: a \rightarrow b $ 為兩個 [標量/向量] 空間 \(a,b\) 的對應關係，
在微積分，解析幾何等相關領域中，線性函式（function）是乙個一次或者少於一次的多項式，對於單一變數如
\[f_f(x) = lx + m, (\forall x \in r)
\]或多變數的函式，其中 \(l,m\) 為已知定常數，由於其函式影象為非垂直的直線或超平面，通常也被稱作線性函式[1]。
線性對映（map）的結果為標量場，則被稱作線性函式，也即向量空間到標量場的對映，線性對映$f_m: a \rightarrow b $ 應該滿足線性特徵：
齊次性： \(f_m(ka)=kf_m(a)\) ，\(\forall k \in r\)
由於函式也可以表示成兩個空間的對映，因此這兩個線性概念很容易引起混淆，乙個是基於圖形幾何直覺，乙個是基於數學空間理論。作為專業學習，我們不妨全部基於數學的角度，僅將滿足線性特徵的函式/對映稱為 [線性函式/對映]，如 \(f_f(x)_\)，將 \(f_f(x)_\) 稱為 --仿射函式/對映--。
在歐幾里德幾何中，仿射（affine）變換是一種保留直線和平行性(但不一定是距離和角度)的幾何變換[2]。
如圖，每片葉子都通過仿射變換彼此相連。例如，通過反射、旋轉、縮放和平移的組合，紅葉可以轉換成深藍色葉和任何淺藍色葉。每乙個仿射變換都可以看成是 [乙個線性變換] + [乙個平移]，這並不保證原點仍然不變，因此每乙個線性變換都是仿射變換，但是仿射變換不一定是線性變換。
線性方程通常由一組 [不全為0已知係數] 和 [一次或零次的未知變數] 確定，滿足方程解的未知變數組成了乙個解空間，如方程 $eq_1 $ ：
\[a_1x_1 + a_2x_2 +...+ a_nx_n + b = 0
\]確定了乙個 [\(n-1\)] 維的解空間[3]
\(eq_1\) 在 euclidean 空間中則確定了乙個 [\(n-1\)] 維的超平面，\(n=2\) 時則對應 euclidean 平面中的一條直線因此 \(eq_1\) 也被稱為線性方程，在 euclidean 空間中可以改寫為如下通式：
\[a_1f_1 + a_2f_2 +...+ a_nf_n + b = 0 \quad (f_n = x_n| x_n,a_n,b \in r )
\]根據通式，有乙個以未知函式為變數的常微分方程 \(eq_2\) ：
\[a_0f + a_1f^ +...+ a_nf^ + b = 0 \quad (f = f(x)| f(x),a_n,b \in f)
\]其中 \(f\) 為關於 \(x\) 函式的空間，關於未知量的每一項都是一次或者零次， \(eq_2\) 被稱為線性常微分方程，即使 \(a_n=a_n(x)\) 不為實常數
線性方程應該滿足兩個特徵：當 \(b=0\) 時 \(eq_1\) 被稱為齊次線性方程，而對於齊次常微分方程，課本中有兩種常規形式：通常方程 2x+3y=10 也被稱作線性（linear）方程，為了和上述線性特徵區分開來，嚴格來說應該是仿射方程，它的齊次形式 2x+3y=0 才是線性方程。
[形式一] 不一定是乙個線性方程，ta還可以有非線性形式，如：\(y'-\frac=0\)對於形式一中的例子，兩邊同除 \(x^2\) 得到 \(y^ + \fracy = 1\) ，與形式二明顯衝突，這裡非常不解，齊次有兩個不同的表示形式，難道說齊次是兩個性質？[形式二] 則對應乙個齊次線性常微分方程
這裡應該換一種思路來考慮，這兩個形式其實都是乙個齊次性質的表現。
有函式 \(f(x)\) ，對於任意實常數若:那麼，到底什麼是齊次方程呢？一般是指簡化後的方程中所有非零項的指數相等，如：\[f(ax)=a^kf(x)
\]則稱 \(f\) 為 \(k\) 階齊次度的齊次函式。
\[x^2+xy+y^2=0
\]這個方程確定了乙個關係式 \(y=f(x)\) ，因此：
\(f(x)\) 不一定為函式，因為可以存在 \((x,y_1)\) 和 \((x,y_2)\) 都滿足這個方程，如齊次方程 \(x^2 - y^2 = 0\)\[x^2 + xf(x) + f(x)^2 = 0
\]代入 \(\overline x = ax\) 得到：
\[a^2x^2 + axf(\overline x) + f(\overline x)^2 = 0
\]易知當 \(f(ax) = af(x)\) 時，上式滿足。對於常微分方程 \(f(x,y,y^,...,y^n)=0\) ，若[4]：
\[\overline x = a^kx, \quad \overline y = a^ly
\]其中 \(a >0\) 且不等於1，\(k,l\) 為任意固定的實常數，滿足 \(f(\overline x,\overline y,\overline y^,...,\overline y^n)=0\) ，即 \(f\) 確定的 [表示式] \(y=f(x)\) 滿足
\[f(a^kx) = a^lf(x)
\]當 \(k=0,l \neq 0\) 時，即
\[f(x) = a^lf(x)
\]這意味著乙個 \(x\) 對應多個 \(y\) ，這時候 \(f\) 被稱為齊次微分方程。這時候再來看上邊提到的兩種齊次常微分方程形式
\(y'+y^2 = \frac\) 也可以找到一組對應的 \(k=1,l=-1\) ，然後將 \(\overline x ,\overline y\) 代入方程依然滿足，因此 ta 也是齊次微分方程，儘管 ta 不屬於上面的兩種形式而方程 \(y''-\frac=0\) 非齊次
齊次線性方程組和非齊次線性方程組
定義齊次線性方程組 等式右側常數項全部為0 非齊次線性方程組 等式右側常數項不全部為0 2.齊次方程組的求解 將係數矩陣化為行階梯形矩陣，記全為0的行數量為r n r a 則非零行的首非零元所在列對應的就是約束變數,其餘變數即為自由變數。將後r個自由變數未知數，每次只有乙個取值為1 其餘為0 然後每...
齊次線性方程組和非齊次線性方程組
1 常數項不同 齊次線性方程組的常數項全部為零，非齊次方程組的常數項不全為零。2 表示式不同 齊次線性方程組表示式 ax 0 非齊次方程組程度常數項不全為零 ax b。齊次線性方程組求解步驟 1 對係數矩陣a進行初等行變換，將其化為行階梯形矩陣 2 若r a r n 未知量的個數 則原方程組僅有零解...
6 9 齊次線性方程組
什麼是齊次線性方程組？每乙個方程等號右邊的數都為 0 舉例 三元齊次線性方程組 執行高斯 約旦消元法 對於齊次線性方程組來說 是一定有解的。因為，對於齊次線性方程組來說，方程等式都為0，那至少有乙個解 0 所以是有唯一解 0 還是無數解？根據之前的總結判斷 係數矩陣非零行個數 與 未知數個數 2 3...