1. 證明$m \times n$棋盤被多公尺諾骨牌完美覆蓋當且僅當$m$和$n$中至少有乙個是偶數。
證明：$m \times n$棋盤被$t$個多公尺諾骨牌完全覆蓋，於是$mn = 2t$，則$2 | mn$，考慮到$2$是素數，因此$2 | m$或$2 | n$，即$m$和$n$中至少有乙個是偶數，證畢。
2. 考慮$m$和$n$都是奇數的$m \times n$棋盤。為了固定表記方式，假設棋盤左上角的方格被著成白色。證明如果切掉棋盤上任意乙個白方格，那麼這張切過的棋盤有多公尺諾骨牌完美覆蓋。
證明：考慮切掉位於位置$(r, c)$的白格，該白格將剩餘棋盤分割為$4$個部分，分別為$(r, c - 1)$，$(r - 1, n - c + 1)$，$(m - r + 1, n - c)$，$(m - r, c)$。注意到$(1, 1)$是白格，白格$(r, c)$滿足
$r + c$為偶數，於是$r + c \equiv 0(\text 2)$由於：
$(r, c - 1) \rightarrow r + c - 1 \equiv -1(\text2) \equiv 1(\text2)$；
$(r - 1, n - c + 1) \rightarrow r - c + n \equiv r - c + 1(\text2) \equiv 2c + 1(\text2)\equiv 1(\text2)$；
$(r, c - 1) \rightarrow m + n - r - c + 1 \equiv m + n + 1(\text2)\equiv 1(\text2)$；
$(r, c - 1) \rightarrow m + c - r \equiv 2r+1(\text2) \equiv 1(\text2)$；
結合$1$題中結論，它們分別存在完美覆蓋，於是剩餘棋盤存在完美覆蓋。證畢。
3. 想象一座由$64$個囚室組成的監獄，這些囚室被排列成$8 \times 8$棋盤。所有相鄰的囚室間都有門。某角落處一間囚室的囚犯被告知，如果他能夠經過其它每乙個囚室恰好一次之後，達到對角線上相對的另一間囚室，那麼他就可以獲釋。他能夠獲得自由嗎？
解：不能。
證法1：考慮到經過每個囚室恰一次，他需要移動$64 - 1 = 63$次，那麼我們將$(1, 1)$著成白色，他到達的位置必然是黑格，因為每走一步所在方格顏色反轉一次，而$(8, 8)$是白格。所以他不可能止步於終點。
證法2：假設對於$m \times n$的方格存在合法的路徑到達對角方格，那麼顯然$m \times n$也存在合法路徑，其中$m = m + 2$，於是我們可以將該問題歸約為是否存在$2 \times 2$的方格上的合法路徑，經過簡單嘗試知道不存在。
4. （a）設$f(n)$計數$2 \times n$棋盤的多公尺諾骨牌完美覆蓋的數量。估計一下$f(1), f(2), f(3), f(4)$和$f(5)$。試尋找（或證明）這個計數函式$f$滿足的簡單關係。利用這個關係計算$f(12)$。
（b）設$g(n)$是$3 \times n$棋盤的多公尺諾骨牌完美覆蓋的數量。估計$g(1), g(2), ..., g(6)$。
解：（a）這裡直接給出結論：$f(1) = 1$，$f(2) = 2$，$f(n) = f(n -1) + f(n - 2) (n > 2)$。
（b）直接給出答案（可以使用分解法找出迭代關係）：$g(1) = 0, g(2) = 3, g(3) = 0, g(4) = 9, g(5) = 0, g(6) = 33$。
5. 求$3 \times 4$棋盤的多公尺諾骨牌完美覆蓋的個數。
解：$9$。
6. 考慮下面的棋盤問題的三維形式：定義三維多公尺諾骨牌是這樣的乙個幾何圖形，它是由變成為乙個單位的兩個立方體面對面連線起來的幾何體。證明有可能由多公尺諾骨牌構造出乙個邊長為$n$個單位的立方當且僅當$n$是偶數。如果$n$是奇數，是否有可能構造出乙個邊長為$n$個單位的正方體，且其中心部分有乙個$1 \times 1$的洞呢？
解：證明：
充分性：若$n$是偶數，由$1$題中結論，存在對於$n \times n \times 1$的完美覆蓋，因此顯然存在對於$n \times n \times n$的完美覆蓋。
必要性：若$n$為奇數，若存在完美覆蓋且使用三位多公尺諾骨牌$t$個，於是$2t = n ^ 3$，由於$n$為奇數，$n^3 \equiv 1(\text 2)$，矛盾。因此$n$是偶數。
考慮到若對於$n \times n$，進行黑白著色，那麼主對角線方格同色，使用$2$題中結論，易證存在完美覆蓋。
7. 設$a$和$b$是正整數且$a$是$b$的因子。證明$m \times n$棋盤有$a \times b$牌的完美覆蓋當且僅當$a$既是$m$的因子又是$n$的因子，而$b$是$m$或$n$的因子。
證明：充分性：記$c = \frac$，不失一般性地設$b | m$，由於$a | m$且$a | n$，考慮棋盤$\frac \times \frac$存在$1 \times c$的完美覆蓋，這是因為$b | m$即
$ac | m$即$c | \frac$，因此只需將按比例放大$a$倍，得到棋盤$m \times n$存在$a \times b$的完美覆蓋。
必要性：由於$m \times n$存在$a \times b$的完美覆蓋，因此存在$1 \times b$的完美覆蓋，因此$b$是$m$或$n$的因子。注意到$a \times a$是$a \times b$的完美覆蓋，因此$a \times a$是$m \times n$的完美覆蓋，顯然$a$即是$m$的因子又是$n$的因子。證畢。
8. 利用習題7證明當$a$是$b$的因子時，$m \times n$棋盤有$a \times b$的完美覆蓋當且僅當這個棋盤有平凡完美覆蓋，其中所有的牌都指向相同的方向。
證明：充分性：顯然。
必要性：由於$m \times n$有$a \times b$的完美覆蓋，於是$a$是$m$和$n$的因子，$b$是$m$或$n$的因子。不失一般性地，假設$b$是$n$的因子，只需證明$a \times b$是$m \times b$的完美覆蓋，只需證明$a \times 1$是$m \times 1$的完美覆蓋，由於$a | m$，於是得證。
９. 證明當$a$不是$b$的因子時，練習題8的接鄰不一定成立。
解：舉一反例：$6 \times 5$有$2 \times 3$的完美覆蓋，但沒有平凡完美覆蓋。
10. 驗證不存在$2$階幻方。
證明：$2$階幻方包括數字$1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$，考慮包含數字$1$所在方格的長度為$2$的方格條，由於幻方的性質，需要使得$4$個不同位置的方格的數字相同，顯然這是不可能的。因此不存在$2$階幻方。證畢。
—————休息一下———————————————
11. 利用$\text\acute}\text$的方法構造$7$階幻方。
解：
12. 利用$\text\acute}\text$的方法構造$9$階幻方。
解：解法與題11完全相同。
13. 構造乙個$6$階幻方。
14. 證明$3$階幻方的重心位置一定是$5$。是推證正好有$8$個$3$階幻方。
15. 能否嘗試填充下面的部分方格而得到乙個$4$階幻方。
16. 用整數$n^2+1-a$取代$n$階幻方中的每乙個整數$a$，證明得到的是乙個$n$階幻方。
西瓜書第1章習題
1.1 試給出相應的版本空間。首先有乙個 假設空間 現實問題中假設空間一般很大。然後有許多策略是可以對假設空間進行搜尋，搜尋過程中刪除與正例不一致的假設 和反例一致的假設。最後選出來的假設的集合，就叫做 版本空間 1.2 若使用最多包含k個合取式的析合正規化來表達表1.1西瓜分類問題的假設空間，估算...
Accelerated C 習題解答 第1章
ex.1 01 include include includeint main std cout std string name std cin name std cout include include includeint main std cout std string name std ci...
第7章 習題
7.1 在intel x86系統上，使用linux，如果執行乙個輸出 hello,world 的程式但不呼叫exit 或 return，則程式的返回 為13 用shell檢查 解釋其原因。hello,world n 共13個字元，而printf的返回值是輸出的字元個數，這個返回值是儲存在主函式的堆疊...