莫比烏斯函式,數論中的戰鬥機

2022-07-26 01:36:14 字數 1912 閱讀 8730

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2012-07-23 03:11:54|  分類: 應用邏輯科學技術

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莫比烏斯函式,數論函式,由德國數學家和天文學家莫比烏斯(august ferdinand möbius ,1790–1868)提出。梅滕斯(mertens)首先使用μ(n)作為莫比烏斯函式的記號。而據說,高斯(gauss)比莫比烏斯早三十年就曾考慮過這個函式。莫比烏斯函式在數論中有著廣泛應用。

設f為算術函式,f為f的和函式,有f(n)=sigma[f(d)],d|n。我們現在要做的事是如何根據f求出f。

例如:f(1)=f(1)

f(2)=f(1)+f(2)

f(3)=f(1)+f(3)

f(4)=f(1)+f(2)+f(4)

f(5)=f(1)+f(5)

f(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)

f(7)=f(1)+f(7)

f(8)=f(1)+f(2)+f(4)+f(8)

利用解方程,我們得到:

f(1)=f(1)

f(2)=f(2)-f(1)

f(3)=f(3)-f(1)

f(4)=f(4)-f(2)

f(5)=f(5)-f(1)

f(6)=f(6)-f(3)-f(2)+f(1)

f(7)=f(7)-f(1)

f(8)=f(8)-f(4)

觀察發現,f(n)等於形式為+/-f(n/d),d|n,所以我們推論出莫比烏斯反演公式:

f(n)=sigma[u(d)*f(n/d)](一定要記住這個形式呀,否則後面你就不好理解了)。

現在試著確定u函式:

例如,對於上面的例子有u(1)=u(6)=1, u(2)=u(3)=u(5)=u(7)=-1,u(4)=u(8)=0。

繼續觀察:

若p是素數

f(p)=f(1)+f(p)=>f(p)=f(p)-f(1),那麼u(p)=-1。

繼續觀察:

f(p^2)=f(1)+f(p)+f(p^2)=>f(p^2)=f(p^2)-(f(p)-f(1))-f(1)=f(p^2)-f(p),這又有u(p^2)=0。

同理我們推出f(p^3)=f(p^3)-f(p^2),這又有u(p^3)=0,就這樣推下去,我們有當k>1,有u(p^k)=0。

繼續觀察:

設p1,p2為素數

f(p1*p2)=f(p1*p2)+f(p1)+f(p2)+f(1)=>f(p1*p2)=f(p1*p2)-f(p1)-f(p2)+f(1)。

這裡有u(1)=1, u(p2)=-1,u(p1)=-1,u(p1*p2)=1。

如果不嫌累,你就在繼續推,以下直接給出莫比烏斯函式了(要是一一枚舉得累死我)。

u(n) = 1 如果n=1

= (-1)^r 如果n=p1*p2*......pr,其中pi為各不相同的素數

= 0 其它

行了,莫比烏斯函式有很多性質呢。就不證明了,只給出這些性質吧。

(1)莫比烏斯函式是乘性函式

(2)設f(n)=sigma[u(d)],d|n,如果n=1,則f(n)=1,若n>1則等於0。

至於如何去驗證莫比烏斯函式確實能夠達到反演的大家就自己研究吧。

並且若f的和函式f是乘性的,我們可以根據莫比烏斯反演推出f也是乘性的。

好了,看看利用莫比烏斯反演公式能得到什麼好玩的。

設f1(n)=n,f2(n)=1

f1(n)=sigma(f1(d)), d|n1

f2(n)=sigma(f2(d)), d|n2

那麼根據反演公式有

n=sigma[u(n/d)*f1(d)]

1=sigma[u(n/d)*f2(d)]

很神奇,是吧。

還有呢若f是尤拉函式,則f(n)=n*(sigma[u(d)/d]),d|n。

省略的證明有點多,因為我有點懶。

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