雙方使用同一規則加密---------金鑰（對稱加密演算法
des）data encryption standard
雙方一起制定--------辦法：金鑰交換演算法，不用直接傳遞金鑰
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私鑰（非對稱加密演算法
rsa）
三位數學家rivest、
shamir
和 adleman
除了1以外，沒有其他公因子
比如，15和
32沒有公因子:
任意兩個質數構成互質關係，比如13和61。
乙個數是質數，另乙個數只要不是前者的倍數，兩者就構成互質關係，比如3和10。
如果兩個數之中，較大的那個數是質數，則兩者構成互質關係，比如97和57。
1和任意乙個自然數是都是互質關係，比如1和
99。p是大於
1的整數，則p和
p-1構成互質關係，比如57和
56。6. p是大於
1的奇數，則p和
p-2構成互質關係，比如17和
15。任意正整數n，請問在
<= n 的正整數之中，有多少個與n構成互質關係？-----尤拉函式
φ(n) = n * (1 - 1/p1)*(1 - 1/p2)*(1 - 1/p3)*(1 - 1/p4)
φ(1323) = φ(3^3 * 7^2) = 1323 * （
1 - 1/3
）（1 - 1/7
）----- a和b互質
------- a^φ(b) = 1 (mod b) -----》 a的（
b的尤拉函式）
次方減一 :等於
:能整除b3和
7互質，而
7的尤拉函式
φ(7)等於6
，所以3的6
次方（729
）減去1
，可以被
7整除（
728/7=104
）如果兩個正整數a和
n互質，那麼一定可以找到整數
b，使得
ab-1 被n
整除，或者說ab被
n除的餘數是
1-------ab==1(mod n)
-------a*a^(φ(b) - 1) = 1 (mod b)
公鑰和私鑰
第一步，隨機選擇兩個不相等的質數p和
q-----------------61和
53第二步，計算p和
q的乘積
n------------------------------3233寫成二進位制是
110010100001
，一共有
12位，所以這個金鑰就是
12位實際應用中，
rsa金鑰一般是
1024
位，重要場合則為
2048
位n = p×q
第三步，計算n的尤拉函式
φ(n)-----------------φ(3233)等於
60×52
，即3120
φ(n) = (p-1)(q-1)
第四步，隨機選擇乙個整數e，條件是
1------------在1到
3120
之間，隨機選擇了
17,實際應用中，常常選擇65537
e ≡ range(1 , φ(n))
第五步，計算e對於
φ(n)
的模反元素
ded ≡ 1 (mod φ(n))------------------17x + 3120y = 1(二元一次方程
)第六步，將n和
e封裝成公鑰，n和
d封裝成私鑰
其中乙個解 (x,y)=(2753,-15)，即
d=2753
n=3233，
e=17
，d=2753
，所以公鑰就是
(3233,17)
，私鑰就是（
3233, 2753
）質積，隨機，模反元素，
公鑰（質積，隨機
），私鑰
（質積，模反元素）
（1）ed≡1 (mod φ(n))
。只有知道e和
φ(n)
，才能算出d。
（2）φ(n)=(p-1)(q-1)
。只有知道p和
q，才能算出
φ(n)
。（3）
n=pq
。只有將
n因數分解，才能算出p和
q。---------n根號
233478071698956898786044169
84821269081770479498371376
85689124313889828837938780
02287614711652531743087737
814467999489
×36746043666799590428244633
79962795263227915816434308
76426760322838157396665112
79233373417143396810270092
798736308917
1 加密要用公鑰 (n,e)
資訊m必須是整數（字串可以取
ascii
值或unicode值），
且m必須小於
nme ≡ c (mod n)
愛麗絲的公鑰是 (3233, 17)，鮑勃的
m假設是
6565 * 17 ≡ 2790 (mod 3233)
鮑勃就把2790發給了愛麗絲
2 解密要用私鑰(n,d)
用自己的私鑰(3233, 2753) 進行解密
cd ≡ m (mod n)
2790 * 2753 ≡ 65 (mod 3233)
如果要加密大於n的整數，該怎麼辦？有兩種解決方法：一種是把長資訊分割成若干段短訊息，每段分別加密；另一種是先選擇一種
"對稱性加密演算法
"（比如
des），用這種演算法的金鑰加密資訊，再用rsa公鑰加密
des金鑰。
最後，我們來證明，為什麼用私鑰解密，一定可以正確地得到m。也就是證明下面這個式子：
cd ≡ m (mod n)
因為，根據加密規則
ｍe ≡ c (mod n)
於是，c可以寫成下面的形式：
c = me - kn
將c代入要我們要證明的那個解密規則：
(me - kn)d ≡ m (mod n)
它等同於求證
med ≡ m (mod n)
由於ed ≡ 1 (mod φ(n))
所以ed = hφ(n)+1
將ed代入：
mhφ(n)+1 ≡ m (mod n)
接下來，分成兩種情況證明上面這個式子。
（1）m與n
互質。根據尤拉定理，此時
mφ(n) ≡ 1 (mod n)
得到(mφ(n))h × m ≡ m (mod n)
原式得到證明。
（2）m與n
不是互質關係。
此時，由於n等於質數p和
q的乘積，所以
m必然等於kp或
kq。以 m = kp為例，考慮到這時k與
q必然互質，則根據尤拉定理，下面的式子成立：
(kp)q-1 ≡ 1 (mod q)
進一步得到
[(kp)q-1]h(p-1) × kp ≡ kp (mod q)
即(kp)ed ≡ kp (mod q)
將它改寫成下面的等式
(kp)ed = tq + kp
這時t必然能被
p整除，即
t=t'p
(kp)ed = t'pq + kp
因為 m=kp，
n=pq
，所以med ≡ m (mod n)
原式得到證明。
結果：加密：資訊*隨機
= 加密資訊
*尤拉函式
解密：加密資訊*模反
= 資訊
*尤拉函式
核心：隨機*模反
= 1*
尤拉函式
應用:1 分段加密
2 用des
加密資訊，用
rsa加密
des金鑰
基本公鑰加密
基本公鑰加密 基本的公鑰加密步驟是由 whitfield diffie 及 martin hellman 於 1976 提出的。數學觀念 質數 是只能被 1 以及自己整除的正整數 除了之後餘數為 0 前 8 個質數是 1 2 3 5 7 11 13 17 任何非質數的正整數都可以化為兩個以上質數的乘...
私鑰，公鑰，加密
在密碼學中，金鑰 key，又常稱金鑰 是指某個用來完成加密 解密 完整性驗證等密碼學應用的秘密資訊。在對稱密碼學中，加密和解密用的是同乙個鑰匙，因此鑰匙需要保密。而在非對稱密碼學中，加密和解密用的鑰匙不同 通常乙個是公開的，稱為公鑰 另乙個保密，稱為私鑰。這類演算法在加密和解密時使用相同的金鑰，或是...
公鑰的加密
對於加密，必須區分對稱加密和公鑰 私鑰加密。在對稱加密時，可以使用同乙個金鑰進行加密和解密。但公鑰 私鑰不是這樣的。如果使用乙個公鑰進行加密，就應使用相應的私鑰進行解密，而不是公鑰進行解密。同樣，如果使用乙個私鑰進行加密，就應使用對應的公鑰進行解密，而是不私鑰進行解密。公鑰 私鑰總是成對的建立的。公...