矩陣加速 矩陣 快速冪

矩陣的快速冪是用來高效地計算矩陣的高次方的。將樸素的o（n）的時間複雜度，降到log（n）。

這裡先對原理（主要運用了矩陣乘法的結合律）做下簡單形象的介紹：

一般乙個矩陣的n次方，我們會通過連乘n-1次來得到它的n次冪。

但做下簡單的改進就能減少連乘的次數，方法如下：

把n個矩陣進行兩兩分組，比如：a*a*a*a*a*a => (a*a)*(a*a)*(a*a)

這樣變的好處是，你只需要計算一次a*a，然後將結果(a*a)連乘自己兩次就能得到a^6，即(a*a)^3=a^6。算一下發現這次一共乘了3次，少於原來的5次。

回頭看看矩陣的快速冪問題，我們是不是也能把它離散化呢？比如a^19 => （a^16）*（a^2）*（a^1），顯然採取這樣的方式計算時因子數將是log(n)級別的(原來的因子數是n)，不僅這樣，因子間也是存在某種聯絡的，比如a^4能通過(a^2)*(a^2)得到，a^8又能通過(a^4)*(a^4)得到，這點也充分利用了現有的結果作為有利條件。下面舉個例子進行說明：

現在要求a^156,而156(10)=10011100(2)

也就有a^156=>(a^4)*(a^8)*(a^16)*(a^128) 考慮到因子間的聯絡，我們從二進位制10011100中的最右端開始計算到最左端。細節就說到這，下面給核心**：

1 while(n)

2 裡面的乘號，是矩陣乘的運算，res是結果矩陣。

第3行**每進行一次，二進位制數就少了最後面的乙個1。二進位制數有多少個1就第3行**就執行多少次。

poj 3070 矩陣加速求斐波那契數列**：

#include #include 

#include 
#include 
using
namespace
std;
int n = 2
, m;
int s[2][2]=, };
struct
matrix
res, origin;
void
init()
origin.c =n;
origin.r =n;
for(int i = 1; i <= n; i++)
}matrix multi(matrix x, matrix y)}}
//for(i=1;i<=2;i++)
////}//
}returnt;}
intmain()
origin =multi(origin, origin);
m = m >> 1
; }
printf(
"%d\n
", res.mat[1][2] % 10000
); }
return0;
}

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矩陣有乙個神奇的作用，它可以用來快速求遞推式的第 n 項，學會這個技 能，你需要掌握這兩個前置芝士 矩陣快速冪,矩陣加速 數列 具體怎麼優化呢？這個部落格已經總結的較為全面，在這裡我就不再加贅述。貼一發我寫的模板 include include include include define int ...

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快速冪（矩陣快速冪）

求 3 0 3 1 3 n mod 1000000007 input 輸入乙個數n 0 n 10 9 output 輸出 計算結果 sample input 3sample output 40 分析 利用等比數列的求和公式得所求和是 3 n 1 1 2，如果暴力求3 n 1 會超時，這裡引入快速冪來...