MT 284 建構函式的導數的兩類題型

2022-07-28 22:39:15 字數 753 閱讀 3224

第一類:

已知定義在$r$上的奇函式$f(x),f(-1)=0,$當$x>0$時,$xf^(x)-f(x)<0,$則$f(x)>0$的解集為____

第二類:

已知函式$f(x)$滿足$x^2f^(x)+2xf(x)=\dfrac,f(2)=\dfrac$則$x>0$時,$f(x)$  (     )

a.有極大值,無極小值

b.有極小值,無極大值

c.既有極大值,又有極小值

d.既無極大值,也無極小值

分析:第一類:

第二類:

分析:由$x^2f^(x)=\dfrac-2xf(x)$

得$x^3f^(x)=e^x-2x^2f(x)$

得$(x^3f^(x))^=e^x-2\dfrac=\dfrac$

易得$g(x)=x^3f^(x)\ge g(2)=8f^(2)=0$,故$f^(x)$在$(-\infty,0)$為負,在$(0,+\infty)$為正.

故$f(x)$在$(0,+\infty)$無極值.

注:這是兩類題,一類是構造的函式的導數可知正負;第二類構造的函式的導數為乙個具體函式,操作步驟如上題所演示.

$x>0$時$2xf(x)+x^2f^(x)>x^3>0$   $x<0$時$2xf(x)+x^2f^(x)

故$g(x)=x^2f(x)\ge g(0)=0$,易得$f(x)>0$

的這些轉換函式對於這兩類

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