(2015華中科技大學理科實驗班選拔)
已知三次方程$x^3+ax^2+bx+c=0$有三個實數根.
(1)若三個實根為$x_1,x_2,x_3$,且$x_1\le x_2\le x_3,a,b$為常數,求$c$變化時$x_3-x_1$的取值範圍.
(2)若三個實數根為$a,b,c$,求$a,b,c$
分析:$$\begin
x_1+x_2+x_3&=-a\\
x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1&=b\\
x_1x_2x_3&=-c
\end$$
為方便起見記$x_2=t$
$(x_3-x_1)^2$
$=(x_3+x_1)^2-4x_1x_3$
$=(-a-t)^2+\dfrac$
$=(-a-t)^2-\dfrac$
$=-3t^2-2at+a^2-4b$
又$(x^3+ax^2+bx+c)'=3x^2+2ax+b$由三次函式影象易知$t$在它的兩個根之間,
二次函式$-3t^2-2at+a^2-4b$的最值在區間端點和對稱軸處取得,
故所求範圍為$\left[\sqrt,2\sqrt-b}\right]$
$$\begin
a+b+c&=-a\\
ab+bc+ca&=b\\
abc&=-c
\end$$
得$c=0,a=0,b=0\vee c=0,a=1,b=-2\vee a=-\dfrac,c=\dfrac-b$,
將$b$代入三次方程得$b^3+ab^2+b^2+c=0$再將$a=-\dfrac,c=\dfrac-b$代入化簡得
$b^4+b^3-2b^2+2=0$從而$b=-1$或者$b^3-2b+2=0$,利用代換$b=t+\dfrac,$代入化簡得
$t^3+\dfrac+2=0$
從而$t=\sqrt[3]}}$
故有理解為\((a,b,c)=(0,0,0),(1,-1,-1),(1,-2,0)\),
無理解為\(\left(-\dfrac 1b,b,\dfrac 2b-b\right)\),其中\(b=t+\dfrac 2\),而\(t=\sqrt [3]}}\)．
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