目錄線性變換的矩陣
特徵值與特徵向量
對角矩陣
線性變換的值域與核
不變子空間
若爾當標準形
線性空間\(v\)到自身的對映通常稱為\(v\)的乙個變換。
線性變換作為對映的特殊情形可以定義乘法運算
線性變換乘法對加法具有左右分配律
\(\mathscr(\mathscr+\mathscr)=\mathscr\mathscr+\mathscr\mathscr\)
\((\mathscr+\mathscr)\mathscr=\mathscr\mathscr+\mathscr\mathscr\)
線性空間\(v\)上全體線性變換，對於如上定義的加法與數量乘法，也構成數域\(p\)上的乙個線性空間
多項式
設 \(f(x)=a_mx^m+a_x^+\cdots+a_0x^0\)是\(p[x]\)中的乙個多項式， \(\mathscr\)是\(v\)的一線性變換
\(f(\mathscr)=a_m\mathscr^m+a_\mathscr^+\cdots+a_0\mathscr^0\)是一線性變換，它稱為線性變換\(\mathscr\)的多項式。
設\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)是線性空間\(v\)的一組基。
如果線性變換\(\mathscr\)與\(\mathscr\)在這組基上的作用相同，即\(\mathscr\varepsilon_i=\mathscr\varepsilon_i,\ \ i=1,2,\cdots,n\) 那麼\(\mathscr=\mathscr\)。
意義：乙個線性變換完全被它在一組基上的作用決定
設\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)是線性空間\(v\)的一組基。
對於任意一組向量\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\)，一定有乙個線性變換\(\mathscr\)使\(\mathscr\varepsilon_i=\alpha_i,i=1,2,\cdots,n\)
意義：基向量的像完全可以是任意的
在取定一組基後，我們就建立了由數域\(p\)上的\(n\)維線性空間\(v\)的線性變換到數域\(p\)上的\(n \times n\)矩陣的乙個對映，1說明這個對映是單射，2說明是滿射，因此這個對映是一一對應的（雙射）。
適當選擇一組基後，乙個線性變換的矩陣可以化成什麼樣的簡單形式
特徵值是被特徵向量唯一決定的，乙個特徵向量只能屬於乙個特徵值。
求特徵值\(\lambda_0\)與特徵向量\(\xi\)
取一組基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\),寫\(\mathscr\)在這組基下的矩陣\(a\);
求出特徵多項式\(|\lambda e-a|\)的根\(\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\)，（\(\lambda\)是線性變換\(\mathscr\)的全部特徵值）；
將特徵值帶入方程組
\[(\lambda_i e-a)\left (
\begin
x_ \\
x_ \\
\vdots \\
x_ \\
\end
\right
)=0 \\
\begin
(\lambda_0 -a_)x_1 +a_x_2+\cdots +a_x_n=0 \\
a_x_1 +(\lambda_0-a_)x_2+\cdots +a_x_n=0 \\
\ \ \ \cdots \cdots \\
a_x_1 +a_x_2+\cdots +(\lambda_0-a_)x_n=0 \\
\end
\]解得基礎解系\((x_1,x_2,\cdots,x_n)_i\)。（也就是特徵向量\(\xi_i\)在基\(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n\)下的座標）
\(\xi_i=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n\)
\[|\lambda e-a|
=\left |
\begin
\lambda-a_ &- a_ & \cdots & -a_ \\
-a_ & \lambda-a_ & \cdots & -a_ \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
- a_ & -a_ & \cdots & \lambda-a_ \\
\end
\right|\]
哪一些線性變換在一組恰當的基下可以是對角矩陣
線性變換的矩陣的化簡與線性變換的內在聯絡
複數域中的矩陣一定與乙個若爾當標準形相似。
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