上世紀70年代新的數學分支」凸分析」的出現，打破了分析數學中」線性」和」非線性」這樣乙個經典的卻又是極不對稱的分劃格局，使得過去相當一部分非線性的內容(即」凸」內容)，能夠象線性分析那樣優美地得到高度統一的處理。一切理論和應用的非線性數學問題都朝著」凸」靠近，早已經構成數學和應用數學的重要思想。
由於凸函式是一類在優化問題中非常重要的函式，因此，其性質被廣泛研究。而凸函式是定義在凸集上的。下面我們分別給出凸集與凸函式的定義與性質。
定義： 設集合c⊂
rn' role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative">c⊂r
n.若對∀x
,y∈c
' role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative">∀x,
y∈c,有 θx
+(1−
θ)y∈
c,θ∈
[0,1
],' role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative">θx+
(1−θ
)y∈c
,θ∈[
0,1]
,則稱c為凸集。凸集的幾何意義明顯，即若x,y屬於凸集，則其連線上所有的點都屬於凸集c。凸集關於加法、數乘和交運算都是封閉的。即凸集之和為凸集、凸集的數乘為凸集、凸集相交為凸集
仿射集與凸集有一定類似。其關係類似於直線與線段的關係。（仿射集是開集，而凸集是閉集？）
凸函式的定義，是從凸集和優化的角度出發定義的。
定義：設集合
c' role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative">c
為非空凸集，函式f:
c→r' role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative">f:c
→r. 若對∀x
,y∈c
' role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative">∀x,
y∈c,有 f(
tx+(
1−t)
y)≤t
f(x)
+(1−
t)f(
y)，t
∈[0,
1]' role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative">f(t
x+(1
−t)y
)≤tf
(x)+
(1−t
)f(y
)，t∈
[0,1
]則稱f' role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative">f
為c上的凸函式。若不等式對x≠
y' role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative">x≠y
嚴格成立，則稱
f' role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative">f為c
' role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative">c
上的嚴格凸函式。
這個定義，可以如下理解，如下圖所示的函式，是有極小點的。即凸函式的割線在函式曲線的上方。
判斷乙個函式是否為凸函式，最基本的方法是使用其定義。但對可微函式，下面介紹的兩個判定定理可能更為有效。f(
x)' role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative">f(x
)是凸函式，當且僅當對∀x
,y∈c
' role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative">∀x,
y∈c，有 f(
y)≥f
(x)+
g(x)
t(y−
x)' role="presentation" style="font-size: 100%; display: inline-block; position: relative">f(y
)≥f(
x)+g
(x)t
(y−x
)對於一元函式，我們可以通過其二階導數的符號來判斷。如果函式的二階導數總是非負，即，則是凸函式。
對於多元函式，我們可以通過其hessian矩陣（hessian矩陣是由多元函式的二階導數組成的方陣）的正定性來判斷。如果hessian矩陣是半正定矩陣，則是凸函式。
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