HDU 4549 M斐波那契數列

m斐波那契數列f[n]是一種整數數列，它的定義如下：

f[0] = a 　

f[1] = b

f[n] = f[n-1] * f[n-2] ( n > 1 )

現在給出a, b, n，你能求出f[n]的值嗎？

input

輸入包含多組測試資料；

每組資料佔一行，包含3個整數a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）output對每組測試資料請輸出乙個整數f[n]，由於f[n]可能很大，你只需輸出f[n]對1000000007取模後的值即可，每組資料輸出一行。

sample input

0 1 0

6 10 2

sample output

解題思路：

本題有多組測試，給定公式f[n] = f[n-1] * f[n-2] ( n > 1 ) ，每組測試給出三個整數a，b，n，a與b分別為第一位與第二位的值，n為需要求出的位。

我們根據給出的公式繼續向下尋找規律

f[0] =a 　
f[1] =b
f[2] = a *b
f[3] = a * b * b = a * b^2
f[4] = a * b^2 * a * b = a ^2 * b ^3
f[5] = a ^2 * b^3 * a * b^2 = a^3 * b^5
f[6] = a^3 * b^5 * a^2 * b^3 = a^5 * b^8
f[7] = a^5 * b^8 * a^3 * b^5 = a^8 * b^13
f[8] = a^8 * b^13 * a^5 * b^8 = a^13 * b^21
……再觀察一手斐波那契數列f(n)
1、1、2、3、5、8、13、21
……哦，天哪！！！
f[n] = a^f(n-1) * b^f(n) ( n > 1
) 找到了規律！獲得了巨大的快樂

這個題已經簡化為了求a的斐波那契數列n-1項次冪 * b的斐波那契數列n項次冪。

斐波那契數列第n項和n-1項怎麼求，遞迴？——不行，n < 1e9 太龐大。

斐波那契數列公式f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)，我們拿出相鄰的兩項建立乙個2 * 1的矩陣

想要求斐波那契數列的第n項與第n-1項只需求出初始矩陣的n-1次冪即可，之後求出a的第n-1項次冪與b的第n項次冪即可。

這裡就要用到快速冪，與矩陣快速冪。

快速冪思想：求2^11，11的二進位制位1011,11 = 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0，所以可以將2^11轉化為2^(2^0) * 2^(2^1) * 2(2^3)。將原先的11次 o(n)優化為了3次o(logn)，本題要求取模，又因為積的取餘等於取餘的積的取餘，我們可以直接在快速冪的過程中取模以得到取模後的答案。

快速冪取模：

ll power(int a, int b, int mod)
a = a * a % mod; //
更新底數取模
b >>= 1; //
b右移一位
} 
return
ans;
}

快速冪取模

矩陣快速冪與快速冪思想基本一直，只是傳入的底數變為了矩陣，乘法也變成了矩陣相乘，這時我們只要開乙個結構體記錄矩陣並過載*運算子為矩陣乘法即可，根據矩陣乘法運算規則，對於新的*運算我們只要兩層for迴圈，依次計算答案矩陣，之後再內部一層for迴圈讓第乙個矩陣只移動行第二個矩陣只移動列，對應相乘再求和即可得出答案。

struct
matrix}}
return ans; //
返回答案矩陣}};
matrix power(matrix a, ll b)
while
(b) b >>= 1
; a = a *a;
}return
ans;
}

矩陣快速冪

ac**

1 #include 2
using
namespace
std;
3 typedef long
long
ll;4
const ll mod = 1e9+7;5
const
int maxn = 2;6
struct
matrix17}
18}19return ans; //
返回答案矩陣20}
21};
22 matrix power(matrix a, ll b)
28while
(b)32 b >>= 1
;33 a = a *a;34}
35return
ans;36}
37ll pownum(ll a, ll b)
43 b >>= 1
;44 a = a * a %mod;45}
46return
ans;47}
48int
main()
49else
if(n == 1
)else73}
74return0;
75 }

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