順磁自旋模型的狀態數和熵

2022-07-30 19:42:24 字數 1062 閱讀 7876

原文:eric bertin, a concise introduction to the statistical physics of complex systems

考慮乙個順磁模型,各自旋彼此獨立,只與一均勻外場有相互作用,外場強度為\(h\)。體系能量為

\begin

e=-h\sum_^n s_i,\quad s_i=\pm 1

\label

\end

相空間(也即構型空間)由集合\(\_\)給出。

問給定能量\(e\),體系有多少個構型?

能量\(e\)給定,也即給定磁化強度\(m=\sum_^n s_i\)。設自旋取值為\(+1\)(也稱自旋向上)的自旋數為\(n_+\),則磁化強度為\(m=n_+-(n-n_+)\),所以給定\(m\)也即給定\(n_+\),於是由基本的排列組合公式知識,構型數為

\begin

\omega = \frac

\label

\end

又\begin

n_+ = \frac\left ( n-\frac\right )

\label

\end

將此式代入\eqref,可以將\(\omega\)表示為\(e\)的函式:

\begin

\omega (e) = \frac(n-e/h) \right ]!\left [\frac(n+e/h) \right ]!}

\label

\end

熵為\begin

\begin

s(e)=&\ln\omega (e) \\

=& \ln n! -\ln \left [\frac(n-e/h) \right ]! -\ln \left [\frac(n+e/h) \right ]!

\end

\label

\end

\begin

\label

\end

代入\eqref,得

\begin

s(e)= n\ln n-\frac\ln \frac - \frac\ln \frac

\label

\end

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