最優矩陣鏈乘

我們都學過矩陣的乘法。矩陣的乘法不滿足分配率，但是滿足結合律，因此矩陣\((a×b)×c\)和\(a×(b×c)\)的結果是一樣的，但是中間的運算量可能是不同的。

比如三個矩陣\(a=2\times3\)、\(b=3\times4\)、\(c=4\times5\)，則\((a \times b)\times c\)需要運算\(2\times3\times4+2\times4\times5=64\)次，而\(a\times(b \times c)\)的運算量是\(3\times5\times5+2\times3\times5=90\)次。顯然第一次的計算方法比較節約計算量

最優矩陣鏈乘，就是在一堆矩陣相乘的情況下，找出需要運算次數最少的那個方法。通俗的說，就是給矩陣乘法加括號

我們假設有\(n\)個矩陣相乘：

\(a_1 \times a_2 \times a_3 \times ...... \times a_n\)

我們可以先將這n個矩陣分為兩部分\(p\)和\(q\)：

\(p=a_1 \times a_2 \times a_3 \times ...... \times a_k\)

\(q=a_ \times a_ \times a_ \times ...... \times a_n\)

其中\(1 \leq k。矩陣鏈乘的結果就可以用\(p\times q\)來表示了，且答案為\(k\)從\(1\)到\(n-1\)迴圈一遍，運算結果最小的那個。狀態轉移方程如下：

\(f(i,j)=min \p_p_ \}, i\leq k

其中，\(f(i,j)\)表示第\(i\)個矩陣到第\(j\)個矩陣的運算量，\(k\)為中間乘號的位置，\(p\)儲存矩陣的行和列，第\(i\)行矩陣的行為\(p_\)，列為\(p_i\)。

我們來用圖表演示一下這個過程。假設現在有4個矩陣\(a_\)~\(a_\)，其輸入如下：

\(p=\\)

輸入內容表示的含義：

矩陣\(a_1\)

\(a_2\)

\(a_3\)

\(a_4\)

行\(\times\)列

\(3\times5\)

\(5\times2\)

\(2\times1\)

\(1\times10\)

p的下標01

23|4p值3

521|10

計算過程

標著的數字是計算的順序。在花括號裡面部分的就是上文所說的\(p\)，花括號外面的部分就是\(q\)

首先，根據輸入的陣列構建乙個二維陣列，這個二維陣列是用來存放計算結果的：

int n=arr.length-1;
//為了讓陣列的指標能夠和上圖對應起來，二維陣列的大小設定為n+1
int m=int[n+1][n+1];

結合上面的例子來講解。輸入的陣列一共有5個元素，表示一共有4個矩陣。所以構造的二維陣列就是5*5的。其中m[1][2]存放的是\(a1 \times a2\)的最終結果；同理，m[1][3]存放的是\(a1 \times a2 \times a3\)的最終結果————雖然在計算\(a1 \times a2 \times a3\)的過程中有兩種可能，但我們只取結果最小的那乙個作為最終結果儲存在陣列中。

接著，我們用乙個指標i來標識二維陣列中的行

用指標j標識二維陣列中的列

用t表示鏈乘的矩陣的長度：如\(a1 \times a2 \times a3\)的長度為3，\(a1 \times a2\)的長度為2

用k來標識乘號的位置，比如上圖表1行4列中的第二個式子中k=2

n、i、t之間的關係為：

i<=n-t+1;

i、j、t之間的關係為：

j=i+t-1;

k、j之間的關係為：

k<=j-1

根據t的大小，我們可以寫乙個迴圈:

int i,j,k,t;
for(t=2;t<=n;t++){
for(i=1;i<=n-t+1;i++){
j=i+t-1;
m[i][j]=integer.max_value
for(k=i;i<=j-1;k++){
int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j];
if(temp完整**：
public class mcp{
public static void matrixchainproduct(int arr){
int n=arr.length-1;
int m=new int[n+1][n+1];
int i,j,k,t;
for(t=2;t<=n;t++) {
for(i=1;i<=n-t+1;i++) {
j=i+t-1;
m[i][j]=integer.max_value;
for(k=i;k<=j-1;k++) {
int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+arr[i-1]*arr[k]*arr[j];
if(temp輸出結果：
3, 5, 2, 1,10
最少計算次數:55
2, 7, 3, 6, 10
最少計算次數:198
10, 3, 15, 12, 7, 2
最少計算次數:678
7, 2, 4, 15, 20, 5
最少計算次數:990

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