狄拉克 函式的導數

2022-08-01 12:54:18 字數 1374 閱讀 6457

原文見 physics pages

狄拉克δ函式的影象像個釘子,如下圖所示,談論他的導數好像比較奇怪。

δ函式我們從狄拉克δ函式的積分性質開始它的導數。狄拉克δ函式具有如下性質:

\begin

\int_^ f(x)\delta(x)\mathrm dx=f(0)

\label

\end

狄拉克δ函式的\(n\)階導數為\(\delta^(x)\),做如下分部積分

\begin

\int_^ f(x)\delta^(x)\mathrm dx=f(x)\delta(x)\big\lvert_-\int_^ f'(x)\delta^(x)\mathrm dx

\label

\end

第一項是0,因為狄拉克δ函式在\(x\neq 0\)的地方是常數0,因此導數也為0。於是我們有

\begin

\int_^ f(x)\delta^(x)\mathrm dx=-\int_^ f'(x)\delta^(x)\mathrm dx

\label

\end

上式對任意函式\(f(x)\)都成立,因此兩邊被積函式相等,

\begin

f(x)\delta^(x)\mathrm dx=- f'(x)\delta^(x)\mathrm dx

\label

\end

對於一階導數有

\begin

f(x)\delta'(x)\mathrm dx=- f'(x)\delta(x)\mathrm dx

\label

\end

如果\(f(x)=x\),有

\begin

x\delta'(x)\mathrm dx=- \delta(x)\mathrm dx

\label

\end

將\eqref迭代下去,得

\begin

f(x)\delta^(x)\mathrm dx=(-1)^n \delta(x)\prod_nf(x)

\label

\end

例1 令\(f(x)=4x^2-1\),有

\begin

\int_^ (4x^2-1)\delta'(x-3)\mathrm dx=-\int_^ 8x\delta(x-3)\mathrm dx=-24

\label

\end

例2 令\(f(x)=x^n\),由\eqref式有

\begin

xn\delta(x)\mathrm dx=(-1)^n n!\delta(x)

\label

\end

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