給定乙個陣列a[n]，求陣列
a[n]
的和sum
。一般的方法是遍歷陣列然後求和，這樣的時間複雜度為
o(n)
。而當修改了陣列中的元素，再次求陣列的和時，又要付出
o(n)
的時間代價。此時，我們可以用樹狀陣列來求和陣列的和。得到樹狀陣列
c[n]
後，時間複雜度將由
o(n)
變為o(lgn)
。這是如何實現的呢？下面我們將按照
:lowbit()函式
-->
樹狀陣列
-->
樹狀陣列索引的意義
-->
樹狀陣列的求和函式
-->
被運算元組更新資料，順序介紹這一巧妙的神器。
(1)lowbit()函式
lowbit()函式是對整數的位操作，返回乙個二進位制數的最低位「
1」。如
10(10)=01010(2)
，返回最低位的「
1」，即2。
lowbit()
函式不是庫函式，需要自己定義。
int lowbit(int x)
return x&-x;
原理(以
10為例）：
運用計算機的補碼運算規則：原碼取反+1。
原碼取反後，各位與原二進位制數相反，lowbit位(含
)以後全變為1：
原碼：01010
反碼：00101
反碼加一後，二進位制的屬性導致各位都受影響(從最低位向高位進一，直到遇到乙個
0位變為1)：
補碼：00110
此時，lowbit位前各位與原碼相反，
lowbit
位相等，
lowbit
位後全為0。
將補碼與原碼進行&(與
)運算，便可得到只有
lowbit位為1
的二進位制數。
原碼：01100
補碼：00110
結果：00100（與運算後）
int lowbit(int x)
return x&(x&(x^(x-1));
亦可實現返回最低位「
1」，讀者可自行推導。
(2)樹狀陣列
如圖所示為樹狀陣列的表示形式，下面給出樹狀陣列的定義： cn=a(n-a^k+1)+......+a(n)(k為
n的二進位制表示中從右向左數的
0的個數，
a^k可用
lowbit
函式求出
)。到此，讀者也許在思考此圖劃分的原因吧。這正是本人思考了很久的點，下面通過陣列索引（下標）的意義來理解這種結構。
(3)樹狀陣列索引的意義
在圖中我們可以看到樹狀陣列c的索引與要求和的陣列
a的索引是一一對應的。暫且理解陣列
c的下標意義為對陣列
a求和的元素數量。
c[1]=a1(a陣列第
1個數，下同
) 1:0001
c[2]=a1+a2 2:0010
c[3]=a1+a2+a3 3:0011
c[4]=a1+a2+a3+a4 4:0100
c[5]=a1+a2+a3+a4+a5 5:0101
c[6]=a1+a2+a3+a4+a5+a6 6:0110
c[7]=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7 7:0111
c[8]=a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8 8:1000
可見每一位索引對應的處理元素個數都可通過索引二進位制表示後不斷進行lowbit操作求得：
7=0001+0010+0100=1+2+4
。而lowbit
位以前的非零位則是已經處理過的。為了實現與
lowbit
前非零位的銜接
((2)
中的cn公式)
，索引對應的元素在被運算元組
a中的操數量即為索引的
lowbit
。即當前處理位置減去已經處理過的元素數量。之前的計算結果可通過不斷進行
n-=lowbit(n)
得到(n
為當前索引值)。
在此以c[7]和
c[8]為例(
此例中索引為在陣列的位序，即下標從1開始
)：c[7]=a[7-lowbit[7]+1]+....+a[7].此處兩索引相等，為
a[7].
7-lowbit(7)=6
c[6]=a[6-lowbit(6)+1]+....+a[6]=a[5]+a[6]
6-lowbit(6)=4
c[4]=a[4-lowbit(4)+1]+.....+a[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]
4-lowbit（4）=0，結束。
c[8]=a[8-lowbit(8)+1]+...+a[8]=a[1]+a[2]+...a[8]
8-lowbit(8)=0,結束。
由此可以結合樹狀陣列下標的意義理解上圖的結構。
(4)求陣列的和：
int sum(int n)
int sum=0;
while(n>0)
sum+=c[n];
n-=lowbit(n);/*此處便可看出時間複雜度
o(lgn)
的由來。因為每次
lowbit
運算都是對原運算元除以二。
*/return sum;
(5)被運算元組更新資料(對a中第
i個數加
x)此時可以更好的體現樹狀陣列的優勢:o(lgn)
void change(int i,int x)
while(i<=n)
c[i]=c[i]+x;
i+=lowbit(i);
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