線性規劃與網路流24題 04魔術球問題

1739:魔術球問題

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假設有n根柱子，現要按下述規則在這n根柱子中依次放入編號為1，2，3，...的球。

（1）每次只能在某根柱子的最上面放球。

（2）在同一根柱子中，任何2個相鄰球的編號之和為完全平方數。

試設計乙個演算法，計算出在n根柱子上最多能放多少個球。例如，在4 根柱子上最多可

放11 個球。

程式設計任務：

對於給定的n，計算在n根柱子上最多能放多少個球。

由檔案input.txt提供輸入資料。檔案第1 行有1個正整數n(n<=55)，表示柱子數。

程式執行結束時，將n 根柱子上最多能放的球數以及相應的放置方案輸出到檔案

output.txt中。檔案的第一行是球數。接下來的n行，每行是一根柱子上的球的編號。

1 82 7 9

3 6 10

4 5 11

【問題分析】

列舉答案轉化為判定性問題，然後最小路徑覆蓋，可以轉化成二分圖最大匹配，從而用最大流解決。

【建模方法】

列舉答案a，在圖中建立節點1..a。如果對於i

具體方法可以順序列舉a的值，當最小路徑覆蓋數剛好大於n時終止，a-1就是最優解。

【建模分析】

由於是順序放球，每根柱子上的球滿足這樣的特徵，即下面的球編號小於上面球的編號。抽象成圖論，把每個球看作乙個頂點，就是編號較小的頂點向編號較大的頂點連線邊，條件是兩個球可以相鄰，即編號之和為完全平方數。每根柱子看做一條路徑，n根柱子要覆蓋掉所有點，乙個解就是乙個路徑覆蓋。

最小路徑覆蓋數隨球的數量遞增不遞減，滿足單調性，所以可以列舉答案（或二分答案），對於特定的答案求出最小路徑覆蓋數，乙個可行解就是最小路徑覆蓋數等於n的答案，求出最大的可行解就是最優解。本問題更適合列舉答案而不是二分答案，因為如果順序列舉答案，每次只需要在殘量網路上增加新的節點和邊，再增廣一次即可。如果二分答案，就需要每次重新建圖，大大增加了時間複雜度。

**：

#include #include #include #include #define maxn 100000
#define eps 0.000000001
#define inf 1 << 30
using namespace std;
struct e
edge[200000];
int tot, s, t, n, ans, k;
int head[maxn], d[maxn], dist[maxn], vis[maxn];
void add_edge(int u, int v, int f)
int dfs(int x, int low)
return b;
} 
int bfs()
}return 0;
} 
void dinic()
int check(int m, int n)
void print(int u, int clr)
}if (!flag) print(v/2, clr);
} 
int main()
n--;
printf("%d\n", n);
memset(vis, 0xff, sizeof(vis));
int clr = 0;
for (int j = 1; j <= n; j++) if (vis[j] == -1) print(j, clr++);
for (int k = 0; k < clr; k++)
printf("\n");
}return 0;
}

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