Matlab 非線性熱傳導（拋物方程）問題

函式檔案1：real_fun.m

1 function f=real_fun(x0,t0)

2 %精確解
3 f=4*x0*(1-x0)*sin(t0);

1 function f=f(n,u,u,t,h1,h2)

2 %非線性方程組
3 %h1是x的步長，h2是t的步長
4 %u表示迭代節點,上一時刻的數值解
5 %h表示時間節點上的步長
6 %n表示空間節點的步數
7 a0=0.5*t^4*h2*n^2;
8 f(1,1)=a0*(u(2)^2-2*u(1)^2)+h2*fi(h1,t)+u(1)-u(1);
9 f(n-1,1)=a0*(-2*u(n-1)^2+u(n-2)^2)+h2*fi((n-1)*h1,t)+u(n-1)-u(n-1);
10for p=2:n-2
11 f(p,1)=a0*(u(p+1)^2-2*u(p)^2+u(p-1)^2)+h2*fi(p*h1,t)+u(p)-u(p);
12 end

1 function f=fi(x0,t0)

2 %等式右邊的f函式
3 f=4*x0*(1-x0)*cos(t0)-16*t0^4*(6*x0^2-6*x0+1)*(sin(t0))^2;

1 function g=jacobian(n,u,t,h1,h2)

2 %計算每個時間節點的牛頓迭代過程中的雅可比矩陣
3 %u表示迭代初值，上一時刻的數值解作為迭代初值
4 a=0.5*t^4*h2*n^2;
5 g=zeros(n-1);
6 g(1,2)=2*a*u(2);
7 g(1,1)=-4*a*u(1);
8 g(n-1,n-1)=-4*a*u(n-1);
9 g(n-1,n-2)=2*a*u(n-2);
10for p=2:n-2
11 g(p,p+1)=2*a*u(p+1);
12 g(p,p)=-4*a*u(p);
13 g(p,p-1)=2*a*u(p-1);
14end
15 g=g-eye(n-1);

1 function x=newtond(n,u,t,h1,h2)

2 %使用修改後的牛頓迭代，可以不求雅可比de逆
3 %u中間代初值
4 %u起始迭代初值
5 u=u;
6 tol=0.5e-5;
7 % jacobi=jacobian(n,u,t,h1,h2);%每隔k步求一次雅可比
8 x1=u-jacobian(n,u,t,h1,h2)\f(n,u,u,t,h1,h2);
9while (norm(x1-u,1)>=tol)
10 %數值解的1範數是否在誤差範圍內
11 u=x1;
12 x1=u-jacobian(n,u,t,h1,h2)\f(n,u,u,t,h1,h2);
13end
14 x=x1;%不動點

1

tic;
2clc
3clear
4 n=100;
5 m=1000;
6 t_h=1/m;%t的步長
7 x_h=1/n;%x的步長
8 x=0:x_h:1;%x的節點
9 ti=0:t_h:0.5;%t的節點
10 %********************真解**************************
11for i=1:length(x)
12for j=1:length(ti)
13 real_z(i,j)=real_fun(x(i),ti(j));
14end
15end
16 %********************真解**************************
17 %********************數值解**************************
18 ui=zeros(length(x)-2,1);%牛頓迭代初值
19 z=zeros(length(x),length(ti));
20for i=1:length(ti)-1
21 z(2:length(x)-1,i+1)=newtond(length(x)-1,ui,ti(i+1),x_h,t_h);%t(i+1)時間的牛頓數值解
22 ui=z(2:length(x)-1,i+1);%牛頓迭代初值，上一時刻的數值解作為迭代初值
23end
2425 %********************數值解**************************
26 [x,y]=meshgrid(x,ti);
27 subplot(2,2,1),
28 mesh(x,y,real_z');
29 xlabel('x');ylabel('t');zlabel('u');title('analytical solution'); 
30 subplot(2,2,2),
31 mesh(x,y,z');
32 xlabel('x');ylabel('t');zlabel('u');title('numerical solution'); 
33 subplot(2,2,3),
34 mesh(x,y,real_z'-z');
35 xlabel('x');ylabel('t');zlabel('u');title('error solution'); 
36 title('牛頓迭代法');
37grid on;
38 toc;

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