小奇的數列

【題目背景】

小奇總是在數學課上思考奇怪的問題。

【問題描述】

給定乙個長度為 n 的數列，以及 m 次詢問，每次給出三個數 l， r 和 p，詢問 (a[l' ] + a[l' +1] + . . . + a[r' ] ) mod p 的最小值。其中 l <= l' <= r' <= r。即模意義下的區間子串和最小值。

【輸入格式】

第一行包含兩個正整數 n 和 m，表示數列的長度和詢問的個數。第二行為 n 個整數，為 a[1] . . a[n] 。接下來 m 行，每行三個數 l， r 和 p，代表一次詢問。

【輸出格式】

對於每次詢問，輸出一行乙個整數表示要求的結果

【樣例輸入】4 2

8 15 9 9

1 3 10

1 4 17

【樣例輸出】

21【資料範圍】

對於 20%的資料 n<=100， m<=100， p<=200

對於 40%的資料 n<=200， m<=1000， p<=500

對於 70%的資料 n<=100000， m<=10000， p<=200

對於 100%的資料 n<=500000， m<=10000， p<=500， 1<=a[i] <=10^9

題解（這是老師發下來的）

對於20%的資料，最暴力的做法，在區間內列舉子串，暴力求和取模，最後得出最小值，複雜度m*n^3

對於40%的資料，演算法1的區間求和改用字首和相減，複雜度m*n^2

接下來，思考一下抽屜原理，如果詢問的區間長度大等p的話，一定有兩個字首和相減等於0，那麼直接輸出0即可

對於70%的資料，把所有長度大等p的區間特判，其餘暴力，複雜度m*p^2

考慮生日悖論，數列如果是隨機生成的，找到2個字首和相同的就返回0，期望複雜度為m*p

由於第10組資料是隨機生成的，所以演算法3可以通過8個測試點

對於100%的資料，使用平衡樹來尋找某個數的前驅，複雜度為m*p*logp（可能高於noip難度），需要手寫treap，splay或替罪羊樹等。set由於常數較大，實測和暴力結果一樣。

（下面是我自己的話）

首先下面這一句話十分有用：

接下來，思考一下抽屜原理，如果詢問的區間長度大等p的話，一定有兩個字首和相減等於0，那麼直接輸出0即可

但如果你沒法理解，可以自己舉幾個例子直觀感知一下（小提示，往餘數上想想）

所以對於每乙個詢問區間我們都insert出乙個平衡樹就是把之前記錄的字首和從 s[l]-s[l-1] ~ s[r]-s[l-1]，每一段字首和都插入，然後邊插入一遍查詢此時這一段字首和在平衡樹里的前繼是誰，此時的前繼與這一段字首和的差值一定是最小的。對於每一段都這樣查詢，就可以得到這個區間在模p意義下的最小字段和了。

具體細節請看**

1 #include2 #include3 #include4 #include5 #include6
7#define for(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;++i)
8#define dwn(i,a,b) for(register int i=a;i>=b;--i)
9#define re register
10#define pn putchar('\n')
11#define llg long long
12using
namespace
std;
13const
int n=5e5+10;14
intn,m,p;
15int ch[n][2],val[n],cnt[n],fa[n],bh=0;16
int a[n],root=0
,l,r,fn;
17llg s[n];
18 inline void read(int &v)
2425
void write(int
x)30
void clear(int
x)33
bool wson(int
x)36
void rotate(int
x)50
51void splay(int x,int
goal)
58rotate(x);59}
60if(goal==0)root=x;61}
6263
void insert(int
dt)71
int now=root,pa=0;72
while(1
)76 pa=now;
77 now=ch[now][val[now]78if(!now)85}
86}8788
intpre()
9596
intmain()
110for(j,l,r)
117write(fn); pn;
118}
119fclose(stdin); fclose(stdout);
120return0;
121 }

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