新生友誼賽

不敢出什麼演算法題，題目以一些基礎的dp題為主，重遞推的思路。

a題：算是7道裡面的水題了，遞推比較容易想。而且這道題其實是考察卡特蘭數，我部落格之前就寫過這道題的題解和相關拓展。詳細題解給鏈結，自己前往：

b題：期望dp，仍然是詳細題解給鏈結，自己前往：

c題：簡單dp，我打了一版記憶化搜尋ac了，不過要注意就是陣列只需要開50*50就行，開1000*1000估計就t了。題意：一根木棍長為l，然後要切n刀，這n刀的具體位置給出，每切一刀的代價為當前被切木棍的總長度，求總代價的最小值。想了下發現貪心不行，開始想dp。分析一下比較容易發現：你每切一刀，對後續產生的影響無非是被切的木棍一分為二，那麼你狀態轉移也就是從這兩小段裡轉移過來的。dp[i,j]=min+j-i (k是i,j之間的木棍切割點)，這個式子仔細想想應該能理解，當然這裡的i,j和k指的都是具體的座標長度，由於總長最大為1000，所以如果這樣寫你就必須要開到1000*1000的陣列了。顯然這裡是可以優化的，單獨用陣列c[i]表示第i個位置的具體座標，然後狀態轉移方程就變成dp[i,j]=min+c[j]-c[i](k是i,j之間的木棍切割點編號)，與之前類似但dp卻只要開50*50就可以了。思路就這樣，可以記憶化搜尋dfs打，也可以直接dp遞推轉移。**如下：

#include #include 
#include 
#include 
using
namespace
std;
int l,c[55],dp[55][55
];int dfs(int u,int
v)int
main()
}

d題：這題比較有意思，主要是不好想到突破點，算是一道比較難的題了。題目短，題意好懂就不再複述。

首先應注意到這個條件：(a-1)2

< b < a 2 這個條件轉化一下就變成了0

#include #include 
#define ll long long
using
namespace
std;
ll m;
struct
martix;
martix mul(martix a,martix b)}}
returnc;}
martix pow(martix a,ll b)
returnc;}
intmain()
return0;
}

e題：本來這題準備放道防ak的難題，結果想想還是算了，換了道水題。看懂題意，開始憑感覺瞎猜就能差不多得出結論了，試著打一發然後就ac了。

就是找規律，發現結論就是：把m,m,m-1,m-1,m-2,m-2,m-3,m-3..........前n項求出來輸出即可。

構造的時候那行最小的最大行應該排列如下：..... m-3 m-2 m-1 m | m m-1 m-2 m-3 . ....

至於怎麼證明，這我就沒仔細想了，據說網上有證明，我沒認真去看具體證明，但還是給個別人具體證明的鏈結，感興趣的可以去看看。

一切為了ac，就憑感覺猜！**如下：

#include#include
#include
using
namespace
std;
intn,m;
intmain()
printf(
"%d\n
",sum*2-(m-(n-1)/2
)); }
}

f題：概率dp，看上去跟省賽那道還有點像，其實還是有本質區別的。詳細題解給鏈結，自己前往：

g題：題意：數軸上有n個城市，給出n個城市的具體位置，選擇其中的m個城市建造郵局，求所有城市到對應最近郵局的距離之和的最小值。

這是道比較經典的dp了，看資料範圍那麼小肯定也是dp了，n^3都能過了，預處理一下，我是n^2的預處理，但是n^3的預處理也是能ac的。定義dp[i][j]表示前i個城市裡已經建造了j個郵局的最短距離，然後考慮狀態轉移，dp[i][j] = min(dp[i][j],dp[k][j-1]+sum[k+1][i])相當於列舉決策前i個城市中哪個城市建造第j個郵局，sum[i][j]表示在i到j範圍內的城市中只建造乙個郵局的距離之和（這個就是需要預處理的部分），dp[maxn][maxm]是我們要求的。sum[i][j]傳統的預處理是暴力n^3的，其實是可以優化的。例如：求sum[1][4]的話郵局需要建立在2或者3處,放在2處的消耗為p4-p2+p3-p2+p2-p1=p4-p2+p3-p1（pi代表具體位置），

放在3處的結果為p4-p3+p3-p2+p3-p1=p4+p3-p2-p1，可見，將郵局建在2處或3處是一樣的。現在接著求sum[1][5],現在處於中點的村莊是3，那麼1-4到3的距離和剛才已經求出了，即為sum[1][4],所以只需再加上5到3的距離即可。同樣，求sum[1][6]的時候也可以用sum[1][5]加上6到中點的距離。

預處理的sum[i][j]其實是滿足遞推式：

sum[i][j]=sum[i][j-1]+(v[j]-v[posti])(其中posti=(i+j)/2)v陣列是用來儲存n個城市對應位置的。預處理完然後初始化dp的起始邊界：dp[i][1] = sum[1][i]，最後就開始遞推dp就行了，暴力n^3的dp。**如下：

#include #include 
#include 
#define maxn 305
#define inf 0x3f3f3f3f
using
namespace
std;
intv,p,v[maxn],sum[maxn][maxn],dp[maxn][maxn];
void
init()
}int
main()
for(int i=1; i<=v; i++)}}
printf(
"%d\n
",dp[v][p]);
}return0;
}

整體來說，這些題目都不難，比賽也只有3小時，不管怎樣，賽後把題都弄懂吧，好好總結，一起加油~

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