n重複陣列，是指數組中的數字都出現n次；
唯一m重複異類數，是指存在唯一乙個沒出現n次，只出現了m次的數；
這裡我簡記它為nx+my問題，求解y，其中m < n，陣列中都是整數；
一直沒有精力刷leetcode，今天查問題無意中看到了leetcode 137：給定乙個非空整數陣列，除了某個元素只出現一次以外，其餘每個元素均出現了三次；找出那個只出現了一次的元素。要求時間複雜度o(n)，空間複雜度o(1)；
沒有在第一時間想到思路，於是花時間研究了一下；
這是乙個3x+y的問題；先給出最優解：
a, b =0, 0for num in
nums:
a = (a ^ num) & ~b
b = (b ^ num) & ~a
return a
在2x+y問題中，方法是使用異或操作一遍全陣列，最終結果就是那個異類數，但從未深入想過為什麼異或會對2x+y問題有效，因而也就無法想通為什麼直接異或會對3x+y問題無效；
再看一遍異或的特點：
0 ^ 0 =01 ^ 0 = 10 ^ 1 = 1
1 ^ 1 = 0
仔細看看，這是因為異或可以讓乙個資訊位（前面的那個1bit數），在接收到有效資訊量（後面的那個1bit數，值為1時為有效）的時候，產生二態變化；
因而如果要解決3x+y問題，就需要有乙個可以產生三態變化的操作符，單純的異或是肯定不行的，因為要對乙個資訊位儲存三種狀態，至少需要兩個資訊位，因而在原本的數字變數空間上操作是不夠的；
假定這個三態異或操作用符號^
3表示；然後用兩個資訊位(b, a)儲存狀態，於是三態異或在接收到有效資訊量(1)時的運算特點如下（接收到無效資訊量0時不產生變化）：
(0, 0) ^3 1 = (0, 1)(0, 1) ^3 1 = (1, 0)
(1, 0) ^3 1 = (0, 0)
這個三態變化過程，其實是正常的兩位二進位制數進製加法的乙個修改，修改處在於，對於二進位制10，再加1時，直接跳過11回到00；
因而這個狀態變化過程可描述為：
兩位二進位制數的低位a，在高位b為0時，進行二態變化；在高位b為1時，歸0；
兩位二進位制數的高位b，在低位a歸0時，進行二態變化；在低位a變為1時，保持為0；
可見a與b的變化規律相似，都要求對方為0時自己進行二態變化，對方為1時自己為0，於是上面的最優解的計算過程就很容易寫出來了：
a = (a ^ num) & ~bb = (b ^ num) & ~a
等等，為什麼是return a，而不是return b呢？
首先，上面這段**裡的a、b各是乙個數字，它位的每個二進位制位組合起來，儲存了對整個陣列^
3操作過程中每個二進位制位的狀態變化；
因為這個^
3操作過程中，低位a在第一狀態有效，因而要求3x+y問題，需要return a；
因而，如果題目改為：給定乙個非空整數陣列，除了某個元素只出現兩次以外，其餘每個元素均出現了三次；找出那個只出現了兩次的元素。
求解這個3x+2y問題，答案也就出來了，計算過程同上，而因為高位b在第二狀態有效，因而return b即可；
再發散思維，改題目：給定乙個非空整數陣列，除了某個元素只出現兩次以外，其餘每個元素均出現了四次；找出那個只出現了兩次的元素。
沿著上面的思路，需要做乙個四態異或操作符^4，同樣需要兩個資訊位進行狀態儲存，它對於有效資訊(1)的運算特點如下：
(0, 0) ^4 1 = (0, 1)(0, 1) ^4 1 = (1, 0)
(1, 0) ^4 1 = (1, 1)
(1, 1) ^4 1 = (0, 0)
這就是標準的兩位二進位制數加法，狀態變化過程可描述為：
兩位二進位制數的低位a，正常進行二態變化；
兩位二進位制數的高位b，在低位a進製的時候進製二態變化；
於是計算過程可寫為：
old_a =aa = (a ^num)
b = b ^ ((old_a ^ a) & ~a)
其中(old_a ^ a) & ~a，意義為a由1變為0；
由於這個b的計算核心運算元是異或，異或與否合用有危險，不把(old_a ^ a)引進來會出現bug；
因為要求的y出現2次，所以需要找第二狀態時的有效位，return b；
狀態數同時為4，計算過程同4x+2y，返回時找第三狀態時的有效位，因而也return b；
題目修改為：給定乙個非空整數陣列，除了某個元素只出現4次以外，其餘每個元素均出現了5次；找出那個只出現了4次的元素。
狀態數上公升到5，需要做乙個五態異或操作符^5，需要3個資訊位(c, b, a)做狀態儲存，對有效資訊(1)的運算特點如下：
(0, 0, 0) ^5 1 = (0, 0, 1)(0, 0, 1) ^5 1 = (0, 1, 0)
(0, 1, 0) ^5 1 = (0, 1, 1)
(0, 1, 1) ^5 1 = (1, 0, 0)
(1, 0, 0) ^5 1 = (0, 0, 0)
狀態變化過程可描述為：
三位二進位制數的低位a，在高位c為0時，進行二態變化；在高位c為1時，歸0；
三位二進位制數的中位b，在高位c為0時，低位a進製的時候進製二態變化；在高位c為1時，歸0；
三位二進位制數的高位c，在低位a和中位b同時歸0時，進行二態變化；
計算過程可寫為：
old_a =aa = (a ^ num) & ~c
b = (b ^ ((old_a ^ a) & ~a)) & ~c
c = (c ^ num) & ~b & ~a
由於y出現的次數是4，高位c在狀態4時有效，因而返回c；
測試**：
defx3_y1(nums):
a, b =0, 0
for num in
nums:
a = (a ^ num) & ~b
b = (b ^ num) & ~a
return
adef
x3_y2(nums):
a, b =0, 0
for num in
nums:
a = (a ^ num) & ~b
b = (b ^ num) & ~a
return
bdef
x4_y2(nums):
a, b =0, 0
for num in
nums:
old_a =a
a = (a ^num)
b = b ^ ((old_a ^ a) & ~a)
return
bdef
x4_y3(nums):
return
x4_y2(nums)
defx5_y4(nums):
a, b, c =0, 0, 0
for num in
nums:
old_a =a
a = (a ^ num) & ~c
b = (b ^ ((old_a ^ a) & ~a)) & ~c
c = (c ^ num) & ~b & ~a
return
cprint (x3_y1([2, 3, 2, 2])) # 3
print (x3_y2([2, 3, 2, 3, 2])) # 3
print (x4_y2([2, 2, 3, 2, 3, 2])) # 3
print (x4_y3([2, 2, 3, 2, 3, 3, 4, 3, 4, 4, 2])) #4
print (x4_y3([5, 5, 8, 5, 8, 8, 5])) # 8
print (x5_y4([5, 5, 8, 5, 8, 8, 5, 8, 5])) # 8
執行結果：
333488
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