對利率和貼現的理解

2022-08-05 17:09:18 字數 4023 閱讀 3915

written with stackedit by xhey.

考慮利率相關問題時首先應明確三點。第一是時間單位,一是指一個月,一個季度,半年還是一年。通常以實際利率(effective interest rate)所對應的時間長度為一期;第二是觀察點的選擇,同樣的現金流因為觀察點的不同可能對其積累也可能對其折現,一般來說觀察點不同得到的現值也不同;第三是收支平衡原則,在既定利率和時間段的情況下,在同一時點的支出和收入的價值應該相等。

其次要熟練運用等價轉換思想。\(1\) 次的實際支付可以轉化為 \(n\) 次的虛擬支付,\(n\) 次的實際支付可以轉化為 \(1\) 次的虛擬支付。

最後一般需要用線段圖來表示現金流,以便理解。

目錄終值函式(積累因子):單位本金在第\(t\)期的積累值為\(a(t)\)

現值函式(折現因子):\(t\)期後的單位積累值在目前的現值\(v(t) = a^(t) = \frac \)

總量函式:\(a(0) = k,a(t) = a(0)a(t),a(t) = ka(t)\)

利息率就是單位本金每期產生的利息。

第\(t\)期的實際利率\(i_t = \frac = \frac \)

\(a(t) = a(0)(1+i_1)(1+i_2) \ldots (1+i_t)\)

單利:\(a(t) = 1 + it\)

\[i_t = \frac = \frac

\]複利:\(a(t) = ( 1 + i )^t\)

\[i_t = \frac = i

\]單利不會影響本金,而複利會使本金增加;單利在超過一期之後實際利率遞減,而複利的實際利率是常數,因此在使用複利計算時結果與觀察點的選擇無關。

在相同情況下複利的終值一定大於單利的終值嗎?

\[\begin

(1 + i)^t \gt 1 +it & \qquad ( -1 \lt i \neq 0 , \, t \gt 1 )\\

(1 + i)^t \lt 1 +it & \qquad ( -1 \lt i \neq 0 , \, 0 \lt t \lt 1 )

\end

\]一般情況下,若每期計息1次是為實際利率,每期計息2次及以上是為名義利率。

\(\frac 1m\)期實際利率的\(m\)倍稱為每期計息\(m\)次的名義利率,記為\(i^\),因此\(\frac 1m\)期的實際利率為\(\frac}\),則

\[\bbox [5px, border:1px solid black]

} \right)^m}\]

當\(m \to \infty\)時有,\(\lim \limits_ \left(1 + \frac} \right)^m = e^} = 1+i \rightarrow i^ = \log(1+i)\)

貼現是持票人以未到期票據向銀行貼付一定利息兌取資金的行為。單位本金因這種提前兌取行為損失的利息就叫做貼現率

小明有一張到期後可以收回10000塊的票據。距到期日還有1年時,小明想將這張票據抵押給銀行以換取現金,此時的貼現率為2.5%。對小明來說,他需要支付10000*2.5% = 250塊的貼息,從銀行拿到10000-250 = 9750塊的現金。對銀行來說,他現在需要支付給小明9750塊,一年後收回10000塊,這250塊是利息,利息率為(10000-9750)/ 9750 = 2.56%.

第\(t\)期的實際貼現率\(d_t = \frac = \frac\)

\(a(0) =a(t)(1-d_1)(1-d_2) \ldots (1-d_t)\)

單貼現:\(a(t) = (1-dt)^\)

\[d_t = \frac = \frac

\]復貼現:\(a(t) = (1-d)^\)

\[d_t = \frac = d

\]與利息率相似的,單貼現不會影響終值,而復貼現會使終值減少;單貼現在超過一期之後實際貼現率遞增,而復貼現的實際貼現率是常數,在使用復貼現率計算時結果也與觀察點的選擇無關。

單貼現的現值一定比復貼現的現值高嗎?

\[\begin

(1-d)^t \gt 1-dt & \qquad (0 \lt d \lt 1,t \gt 1)\\

(1-d)^t \lt 1-dt & \qquad (0 \lt d \lt 1,0 \lt t \lt 1)

\end

\]一般情況下,若每期貼息1次是為實際貼現率,每期貼息2次及以上是為名義貼現率。

\(\frac 1n\)期實際貼現率的\(n\)倍稱為每期貼息\(n\)次的名義貼現率,記為\(d^\),因此\(\frac 1n\)期的實際貼現率為\(\frac}\),則

\[\bbox [5px, border:1px solid black]

} \right)^n}\]

當\(n \to \infty\)時有,\(\lim \limits_ \left(1 - \frac} \right)^n = e^} = 1-d \rightarrow d^ = \log(1-d)\)

利息力\(\delta _t = \frac = \frac = \left( \lim \limits_ \frac \right) / a(t) = \left( \lim \limits_ \frac \right) / a(t)\)

\(\delta_t\)反映了在時刻\(\mathbf t\)單位本金產生的利息,可以表示產生利息的強度。利息的產生受到了三個因素的影響——初值、時間長度、利息率。如果想要比較產生利息的強度,應該消除初值和時間的影響。在上式中導數消除了時間的影響,再除以\(a(t)\)就消除了初值的影響,因此利息力可以作為衡量利息產生強度的標準。

通過利息力我們可以估算終值:\(a(t_2) = a(t_1) \delta_ (t_2 - t_1)\),其中\(\delta t = t_2 - t_1\)越小越好。也可以計算終值:

\[\begin

\delta_t & = & \frac \\[2ex]

\delta_t & = & \frac \log a(t)\\[2ex]

\delta_t dt & = & d \log a(t)\\[2ex]

\int_0^t \delta_s ds & = & \int_0^td \log a(s)\\[2ex]

\log a(t)|_0^t & = & \int_0^t \delta_s ds\\[2ex]

a(t) & = & a(0)e^\\[2ex]

a(t) & = & e^\\[2ex]

\end

\]將\(0,t\)分別替換為\(t_1,t_2\)可以得到下面這個推廣的式子:

\[a(t_2) = a(t_1)e^^ \delta(s) ds}

\]如果把\(t_1,t_2\)看作沒有大小關係,那麼上面的這些公式同樣可以用來求現值。

當\(\delta\)不隨時間變化時,我們有

\[\bbox [5px, border:1px solid black]

= (1-d)^}\]

利息率、貼現率和利息力之間的關係

\[d \lt d^ \lt d^ \lt \cdots \lt \delta \lt \cdots \lt i^ \lt i^ \lt i

\]用影象表示就是這個樣子滴(\(i = 5\%\))

把以上帶框的公式連結起來有

\[(1+ \frac)^m = 1+i = e^ \delta = (1-d)^ = (1-\frac)^

\]\[(1+ \frac)^ = (1+i)^= e^ = 1-d = (1-\frac)^n

\]

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