演算法最短路徑之弗洛伊德（Floyd）演算法

為了能講明白弗洛伊德(floyd)演算法的主要思想，我們先來看最簡單的案例。圖7-7-12的左圖是乙個簡單的3個頂點的連通網圖。

我們先定義兩個二維陣列d[3][3]和p[3][3]， d代表頂點與頂點的最短路徑權值和的矩陣。p代表對應頂點的最短路徑的前驅矩陣。在未分析任何頂點之前，我們將d命名為d(-1)，其實它就是初始圖的鄰接矩陣。將p命名為p(-1), 初始化為圖中的矩陣。

首先我們來分析，所有的頂點經過v0後到達另一頂點的最短路徑。因為只有3個頂點，因此需要檢視v1->v0->v2，得到

d(-1)[1][0] + d(-1)[0][2] = 3。d(-1)[1][2]表示的是v1->v2的權值為5，我們發現d(-1)[1][2] > d(-1)[1][0] + d(-1)[0][2] ,通俗話來說就是

v1->v0->v2 比v1->v2距離還要近。所以我們就讓 d(-1)[1][2] = d(-1)[1][0] + d(-1)[0][2] = 3, 同樣地d(-1)[2][1] = 3, 於是就有了d(0)矩陣。因為有變化，所以p矩陣對應的p(-1)[1][2]和p(-1)[2][1]也修改為當前中轉的頂點v0的下標0, 於是就有了p(0)。也就是說

接下來，也就是在d(0)和p(0)的基礎上繼續處理所有頂點經過v1和v2後到達另一頂點的最短路徑，得到d(1)和p(1)、d(2)和p(2)完成所有頂點到所有頂點的最短路徑計算工作。

首先我們針對圖7-7-13的左網圖準備兩個矩陣d(-1)和p(-1)，d(-1)就是網圖的鄰接矩陣，p(-1)初設為p[i][j]=j 這樣的矩陣。主要用來儲存路徑。

**如下（改編自《大話資料結構》）：注意因為是要求所有頂點到所有頂點的最短路徑，因為使用二維陣列。

#includeusing
namespace
std;
#define maxedge 20
#define maxvex 20
#define infinity 65535typedef 
struct
mgraph;
typedef 
intpatharc[maxvex][maxvex];
typedef 
intshortpathtable[maxvex][maxvex];
/*構建圖 
*/void createmgraph(mgraph *g)
for (i = 0; i < g->numvertexes; i++)/*
初始化圖 
*/ }
g->arc[0][1] = 1
; g->arc[0][2] = 5
; g->arc[1][2] = 3
; g->arc[1][3] = 7
; g->arc[1][4] = 5
; g->arc[2][4] = 1
; g->arc[2][5] = 7
; g->arc[3][4] = 2
; g->arc[3][6] = 3
; g->arc[4][5] = 3
; g->arc[4][6] = 6
; g->arc[4][7] = 9
; g->arc[5][7] = 5
; g->arc[6][7] = 2
; g->arc[6][8] = 7
; g->arc[7][8] = 4
; 
for(i = 0; i < g->numvertexes; i++)
}}/*
floyd演算法，求網圖g中各頂點v到其餘頂點w的最短路徑p[v][w]及帶權長度d[v][w]。 
*/void
shortestpath_floyd(mgraph mg, patharc p, shortpathtable d)
}for (k = 0; k < mg.numvertexes; k++)}}
}}int main(void
) cout 
<< "
-> 
"<< w <
}cout 
<
}return0;
}

輸出為：

程式中的演算法**非常簡潔，即用了乙個三層迴圈，k代表的是中轉結點的下標，v代表起始結點，w代表結束終點。k = 0 ~ 8，表示針對每個頂點作為中轉結點得到的計算結果，最終當k = 8時，兩矩陣資料如圖7-7-16所示。

從上圖我們可以看到第v2行的數值與dijkstra演算法求得的d陣列的數值完全一樣，都是, 而且這裡是所有頂點到所有頂點的最短路徑權值和都可以計算得出。那麼如何由p這個路徑陣列得出具體的最短路徑呢？以v2到v8為例，p[2][8] = 4，說明要經過頂點v4, 將4替換2，p[4][8] = 3, 說明經過v3, .......，最終推導出最短路徑為：v2->v4->v3->v6->v7->v8。

floyd演算法使用了三層迴圈，故時間複雜度也為o(n^3)，與dijkstra演算法一致，不過floyd演算法**簡潔，雖簡潔但也不一定好懂，還是需要多加揣摩才能領會。另外，雖然我們使用的例子都是無向圖的，但它們對於有向圖依然有效，只不過在建立圖的時候，有向圖的鄰接矩陣不是對稱的而已。

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