2017.10.16更新，分割線下面是以前的文字，有表達的意思，卻言不達意，實屬羞恥，看官只需看前面文字即可。
twinsen大神的《深入探索透視投影變換》有幾個點說得不夠清晰，我這裡提一下：
1.p'代表的是**面的投影點，p'代表的是p'對映到單位立方體後的投影點；
2.原文：事實上是透視投影變換由兩步組成：
1） 用透視變換矩陣把頂點從視錐體中變換到裁剪空間的cvv中。
2） cvv裁剪完成後進行透視除法（一會進行解釋）。
故，該文求的是第1）步的那個變換矩陣，只不過用到了第2步的資訊來約束，因為這些約束很有用（單位立方體），所以該文先求得透視除法後的座標點p'，然後返回來*w求得變換矩陣。這也是該文大量篇幅所做的：在2）的約束下求p'。
3.那p'*w和p'什麼關係？即p'和1）中那個變換矩陣什麼關係？看下圖：
視空間=》p'=》單位立方體空間
視空間=》裁剪空間=》單位立方體空間
p'*w就是裁剪空間的座標，而p'不是，但因為他們都處於中間流程，所以容易混淆！事實上，p'不過是求單位立方空間座標的過渡。
注：頂點shader輸入是模型空間座標，輸出是裁剪空間座標！
4.以上3點很重要，也是原文沒注意到卻影響閱讀效果的細節，那問題來了，為什麼要分1）2）步，不直接拿p'給後續流水線？其他的俺不知，但顯然p'如下格式是不易構造變換矩陣的:
********************===羞恥分割線********************===
透視投影變換
好，有了上面兩個理論知識，我們開始分析這次的主角——透視投影變換。這裡我們選擇opengl的透視投影變換進行分析，其他的apis會存在一些差異，但主體思想是相似的，可以類似地推導。經過相機矩陣的變換，頂點被變換到了相機空間。這個時候的多邊形也許會被視錐體裁剪，但在這個不規則的體中進行裁剪並非那麼容易的事情，所以經過圖形學前輩們的精心分析，裁剪被安排到規則觀察體(canonical view volume, cvv)中進行，cvv是乙個正方體，x, y, z的範圍都是[-1，1]，多邊形裁剪就是用這個規則體完成的。所以，事實上是透視投影變換由兩步組成：
1） 用透視變換矩陣把頂點從視錐體中變換到裁剪空間的cvv中。
2） cvv裁剪完成後進行透視除法（一會進行解釋）。
我們一步一步來，我們先從乙個方向考察投影關係。
上圖是右手座標系中頂點在相機空間中的情形。設p(x,z)是經過相機變換之後的點，視錐體由eye——眼睛位置，np——*裁剪*面，fp——遠裁剪*面組成。n是眼睛到*裁剪*面的距離，f是眼睛到遠裁剪*面的距離。投影面可以選擇任何*行於*裁剪*面的*面，這裡我們選擇*裁剪*面作為投影*面。設p』(x』,z』)是投影之後的點，則有z』 = -n。通過相似三角形性質，我們有關係：
同理，有
這樣，我們便得到了p投影後的點p』
從上面可以看出，投影的結果z』始終等於-n，在投影面上。實際上，z』對於投影後的p』已經沒有意義了，這個資訊點已經沒用了。但對於3d圖形管線來說，為了便於進行後面的片元操作，例如z緩衝消隱演算法，有必要把投影之前的z儲存下來，方便後面使用。
假設p'完成透視除法後變成p'',由於各種原因（原文有說明），需要把p''的z'變數變成 -(az+b)/z，即
p' = (x', y', z') = (x', y', -(az+b)/z)
你一定會問為什麼要把z'寫成那樣子
有三個原因：
0）後面投影之後的光柵化階段，要通過x'和y'對z進行線性插值，以求出三角形內部片元的z，進行z緩衝深度測試。在數學上，投影後的x'和y'，與z不是線性關係，與1/z才是線性關係。而正是1/z的線性關係，即-a+b/z。用這個1/z的線性組合值和x'、y'進行插值才是正確的。（2023年11月補充條目。對此感到迷惑的讀者可以參考《深入探索透視紋理對映》，裡面從細節上說明了這個問題。）
1） p』的3個代數分量統一地除以分母-z，易於使用齊次座標變為普通座標來完成，使得處理更加一致、高效。
2） 後面的cvv是乙個x',y',z'的範圍都為[-1，1]的規則體，便於進行多邊形裁剪。而我們可以適當的選擇係數a和b，使得這個式子在z = -n的時候值為-1，而在z = -f的時候值為1，從而在z方向上構建cvv。
接下來我們就求出a和b：
但這個時候我們只完成了z'統一到[-1,1]，x'和y'還沒完成，這個也同理根據線性差值，由p'和p''得到：
對於p'，我們知道-nx / z的有效範圍是投影*面的左邊界值（記為left）和右邊界值（記為right），即[left, right]，-ny / z則為[bottom, top]。而現在我們想把把p''的x'束縛在[-1,1]中，即-nx / z屬於[left, right]對映到[-1, 1]，-ny / z屬於[bottom, top]對映到y屬於[-1, 1]中。你想到了什麼？哈，就是我們簡單的線性插值，你都已經掌握了！我們解決掉它：
【注，上面我用的是原文的，實際上，nx的x是x，其他單獨的x應該改成x'，y同理】
這樣就可以得到p''=(x', y' ,z')了，我們前面說過的透視變換分2步，第一步是用透視矩陣變換，第二步是透視除法，我們得到的p''是透視除法的結果，而我們需要得到的是透視矩陣，所以必須「回退」一下，即p'''是透視矩陣變換的結果：
p''' = p'' * -z（-z才是正的），然後從p'''中拆解出透視矩陣即可p''' = m * (x, y, z,1)t:
m就是最終的透視變換矩陣。相機空間中的頂點，如果在視錐體中，則變換後就在cvv中。如果在視錐體外，變換後就在cvv外。而cvv本身的規則性對於多邊形的裁剪很有利。opengl在構建透視投影矩陣的時候就使用了m的形式。注意到m的最後一行不是(0 0 0 1)而是(0 0 -1 0)，因此可以看出透視變換不是一種仿射變換，它是非線性的。另外一點你可能已經想到，對於投影面來說，它的寬和高大多數情況下不同，即寬高比不為1，比如640/480。而cvv的寬高是相同的，即寬高比永遠是1。這就造成了多邊形的失真現象，比如乙個投影面上的正方形在cvv的面上可能變成了乙個長方形。解決這個問題的方法就是在對多變形進行透視變換、裁剪、透視除法之後，在歸一化的裝置座標(normalized device coordinates)上進行的視口(viewport)變換中進行校正，它會把歸一化的頂點之間按照和投影面上相同的比例變換到視口中，從而解除透視投影變換帶來的失真現象。進行校正前提就是要使投影*面的寬高比和視口的寬高比相同。
此外，原文中說cvv是乙個正方體，x, y, z的範圍都是[-1，1]，但推導過程中一直以透視除法後的座標為[-1，1]為基準計算的，是不是透視除法後才得到cvv？
總結：本文認為原文這樣的寫法是錯誤的：
，也因此導致了一些疑惑，記此文方便和twinsen交流，如有誤，麻煩指正。
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