數論異或，兩道水題。

題目大意：給你n個數（n <= 1000000），第i個數用ai表示（每個a <= 1000000），求出每個數與其之後的數的xor和。

舉個例子吧，比如三個數1 2 3答案就應該為1 xor 2 + 1 xor 3 + 2 xor 3 = 4;

題解：首先有乙個o(n*n)的演算法，就是暴力列舉，可以過40%資料。

程式大體：

for (int i = 1;i < n;i ++)
for (int j = i + 1;j <= n;j ++) ans += a[i] ^ a[j];

很明顯tle，考慮一下兩個數的二進位制的某一位xor能產生貢獻的條件是什麼？就是兩位不同。。。也就是其中乙個是1，另乙個是0二進位制下的這一位就可以產生貢獻。咦？好像有很大的用。那麼我們可以很容易的想到乘法原理。。。怎麼用呢，用cnt[i]表示n個數在二進位制下的第i為1的有多少個，那麼為0的自然就是n - cnt個，我們可以這樣考慮，讓每乙個這一位為1的和每乙個這一位為0的進行xor，這樣是可以產生貢獻的。然後就用cnt * (n - cnt)種搭配能讓這一位產生貢獻（很明顯這些搭配沒有重複），那麼只要讓cnt * (n - cnt）乘以1 << k -1（k表示當前是第幾個二進位制位）就可以得到第k位的和了。

**如下：

#include #include 
using
namespace
std;
intn;
long
long
ans, a;
long
long cnt[30
];int
main()
for (int i = 1;i <= 20;i ++) ans += cnt[i] * (n-cnt[i]) * (1
<< i-1
); printf(
"%lld
", ans);
} //
tips:別忘了用long long

題目大意：給你n個數（n <= 1e5），每個數為ai（每乙個a <= 1e9）求每個區間xor值的和，這裡吐槽一下，說的資料是1e9實際只有2的16次方的資料（洛谷第乙個討論看見的）

舉個例子吧，比如兩個數1 2，你需要輸出的就是1 + 2 + 1 xor 2 = 6，單獨的乙個數也叫乙個區間。

題解：同樣的暴力列舉每一區間複雜度o（n*n），tle。。。做這道題需要知道若a xor b = c，那麼a xor c = b;（我不會證明，這是xor的運算性質），然後我們同樣的向二進位制方向想，對於每一位產生貢獻進行考慮，若[l, r]這個區間對於這一位能產生貢獻的條件就是其中1的個數為奇數且0的個數為偶數，或者0的個數為奇數且1的個數為偶數。那麼我們可以求出xor的字首也就是sum[i]表示前i個數的異或值。那麼統計答案只需要求出對於二進位制下的每一位這n個字首中有幾個1，用cnt表示，有幾個0（也就是n - cnt）然後讓每乙個1與每乙個0組合形成乙個區間然後統計就是cnt (n-cnt) 1 << (k -1);

但是這樣是錯的，你會發現你讓他們組合了卻沒有考慮到1-x這樣的區間也就是讓還有cnt個也可以產生貢獻。所以答案統計應該是(cnt (n - cnt) + cnt) 1 << (k - 1)也就是cnt (n - cnt + 1) 1 <<(k -1）;

**：

#include #include 
const
int maxn = 100010
;using
namespace
std;
intn;
long
long
ans;
long
long
sum[maxn];
intmain()
printf(
"%lld
", ans);
return0;
}//tips:別忘了開long long

蒟蒻開始跑路。。。

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