BZOJ1925 SDOI2010 地精部落

傳送門

求\(n\)的排列中有多少個波動數列.

波動數列是指對於數列中的每乙個數,他兩邊的數必須嚴格小於或大於自己.

\[n \leq 4200, mod \leq 1e9

\]首先我們必須要搞清楚3個性質

5 2 4 1 3 這個數列也是波動的 ，且 5是山峰，2是山谷；

那麼我們設\(dp[i][j]\)表示\(1\)到\(i\)的排列中, 當前數列首端為高度j的山峰的方案數.

考慮如果j,j - 1不相鄰, 那麼直接交換就可以.即\(dp[i][j - 1]\)

如果相鄰, 那麼顯然j - 1是山谷. 所以應用性質二,把山峰變成山谷,即:\(dp[i - 1][(i - 1 + 1) - (j - 1)] = dp[i - 1][i - j + 1]\)

所以答案為:\(dp[i][j] = dp[i][j - 1] + dp[i - 1][i - j + 1]\)

由於空間太小, 考慮滾動陣列優化.

codes

#includeusing namespace std;

#define rep(i, a, b) for(int i = (a), i##_end_ = (b); i <= i##_end_; ++i)
#define drep(i, a, b) for(int i = (a), i##_end_ = (b); i >= i##_end_; --i)
#define clar(a, b) memset((a), (b), sizeof(a))
#define debug(...) fprintf(stderr, __va_args__)
#define debug(s) debug("the massage in line %d, function %s: %s\n", __line__, __function__, s)
typedef long long ll;
typedef long double ld;
const int buf_size = (int)1e6 + 10;
struct fastio 
inline char getchar() 
inline void putchar(char ch) 
inline int flush() 
}io;
#define getchar io.getchar
#define putchar io.putchar
int read() 
void write(int x) 
void putstring(char s, char endchar = '\n') 
#define maxn 4209
int n, p, dp[2][maxn];
namespace init 
}namespace solve 
}int main()

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題目大意 求全排列中鋸齒狀排列的個數。首先進行打表暴力，會發現第乙個元素作為山峰和第乙個元素作為山谷，這兩種方案數是相等的，因此我們只需求出第乙個元素是山谷的方案數再乘2就是答案。做法一 f i 表示i的全排列，第乙個元素時山谷時，鋸齒狀排列的方案數。那麼考慮在i 1的乙個鋸齒狀排列中插入i這個數，...

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傳送門 我們設f i j 表示前i個數，第i個數排名是j的方案總數。我們可以強制第1個數是山峰。然後我們可以將整個序列高度取反，得到其他的方案數。然後我們發現這樣做的時間複雜度是o n 3 的 加上字首和優化就是o n 2 了 var f array 0.1,0.5005 of longint n,...

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傳說很久以前，大地上居住著一種神秘的生物 地精。地精喜歡住在連綿不絕的山脈中。具體地說，一座長度為n的山脈h可分為從左到右的n段，每段有乙個獨一無二的高度hi，其中hi是1到n之間的正整數。如果一段山脈比所有與它相鄰的山脈都高，則這段山脈是乙個山峰。位於邊緣的山脈只有一段相鄰的山脈，其他都有兩段 即...