演算法第四章上機實踐報告

引論：相比與動態規劃演算法，貪心演算法是比較容易理解的，其思想就在於得到當前狀態下區域性最好選擇，當乙個問題的最優解包含其子問題的最優解時，即每個貪心選擇都是子問題的最優解，那麼就能的到該問題的最優解了。本次上機實踐的題目雖然不是特別難，但相比前兩次，這一次上機實踐的效率遠低於上兩次，因為在實踐的時候被第二題難住了，就沒有去思考第三題，導致進度大大落後。既然如此，那麼本篇部落格就以第三題為例來講解貪心演算法吧。

給定k 個排好序的序列, 用 2 路合併演算法將這k 個序列合併成乙個序列。假設所採用的 2 路合併演算法合併 2 個長度分別為m和n的序列需要m+n-1 次比較。試設計乙個演算法確定合併這個序列的最優合併順序，使所需的總比較次數最少。為了進行比較，還需要確定合併這個序列的最差合併順序，使所需的總比較次數最多。

第一行有 1 個正整數k，表示有 k個待合併序列。第二行有 k個正整數，表示 k個待合併序列的長度。

輸出最多比較次數和最少比較次數。

在這裡給出一組輸入。例如：

5 12 11 2

在這裡給出相應的輸出。例如：

78 52

要解決本題，首先要理解題目中提及的 2 路合併演算法，其意思是將含m和n個數字的陣列合併，則需要m + n - 1 次比較，得到的是乙個含m + n個數字的新陣列。給出了k個陣列，那麼就要進行k - 1次2路合併，例如題目的輸入樣例給出了4個陣列，那麼就需要進行3次合併。而又因為各陣列的數字數目不同，則合併時進行的比較次數也不同，因此需要找到乙個合適的合併順序使得總比較次數最少和最多。所以，本題的解題關鍵是：找到合併陣列的順序！

首先列出我解題的**

1 #include 2 #include 3
using
namespace
std;45
intmain()616
17 priority_queue , greater > tempqueue; //
定義小頂堆 
18 priority_queue largequeue; //
定義大頂堆 
1920
for (int i = 0; i < n; i++) //
存陣列中的數字入堆 
2125
2627
28int min = 0; //
min表示最少比較總次數 
29int max = 0; //
max表示最多比較總次數
3031
while (true) //
求最少次數 
3243
else
4447}48
49while (true) //
求最多次數 
5061
else
6265}66
67 cout << max << "
"<68return0;
69 }

題目要求是求出最少和最多的總比較次數，結合我們求哈夫曼樹的經驗，那麼如果想得到最少的總比較次數，那麼就需要選出給定的最短的陣列，先進行二路合併，得到新陣列，再比較新陣列和其餘陣列，再次挑出2個最短的陣列，直到只剩下乙個陣列即為最少總比較次數陣列。相反，若想得到比較次數最多，那麼我們按照相同的思想，只需要把挑出兩個最短的改為挑出兩個最長的，直到只剩下乙個陣列即為最多總比較次數陣列。恰好這個解題思路很適合使用標頭檔案中內建的資料結構——優先佇列priority_queue

priority_queue (變數名） //

預設為最小的元素為堆頂

當我們讓優先佇列的頭元素出佇列時，優先佇列是自動排好序的，即保持最小的元素保持在隊頭，這樣我們每次只需要取出佇列頭元素，並出佇列，再取出第二個佇列頭，進行二路合併，即能達成我們保持合併兩個最短佇列的思想。

下面用反證法來證明最優子結構策略：（由於求出最少比較次數與最多比較次數類似，所以這裡以全球除最少比較次數為例）

設a 與 b 陣列是給出的最短陣列，其數目分別為m 與 n，合併兩個陣列的比較次數為 m + n - 1，得出的新陣列的長度為 m + n。若還有兩個陣列c 與 d , 他們的數目分別為i 與 j，合併次數為 i + j - 1, 則得出的陣列長度為i + j。而整個問題的最優解還需要在長度為i + j的陣列與剩餘的陣列（設長度為k）二路合併，但由於陣列a 與b是原有的最短的陣列，即 m + n - 1 < i + j - 1，且 m + n + k < i + j + k，則導致求出的最優解不是整個問題的最優解，與求出總最少比較次數矛盾。（大問題的最優解包含子問題的最優解）

用反證法來證明貪心選擇：

先挑選出原有陣列的最短的兩個陣列（長度為 n 與 m），比較次數為c1 = n + m - 1，合併後的陣列長度為（n + m）；再挑選出剩下的陣列和長度為n + m的陣列中最短的兩個進行二路合併，若第二次合併是長度為i的陣列與第一次合併得出的陣列合併，則比較次數c2 = n + m + i - 2。若有兩個陣列合併後的長度為 k < n + m，合併它所比較的次數為 q < n + m - 1，第二次合併的比較次數為 q + i，那麼總比較次數包含 q + i，但由於不存在該兩個陣列，得出矛盾。所以本問題的最優解是通過先求出n + m - 1 再得出 n + m + i - 2，再一步步就能得出大問題的最優解。（整體最優解可以通過一系列區域性最優的選擇）

對於時間複雜度：本演算法的核心部分為求最少比較次數和最多比較次數的兩個while迴圈，while迴圈的結束取決於優先佇列的長度。根據給進隊的迴圈，則本演算法的時間複雜度為o（n）。

對於空間複雜度：由於用到了兩個優先佇列來分別表示大頂堆和小頂堆（用到了tempqueue和largequeue），所以空間複雜度為t（2n） = o（n）。

通過本次實踐，我感觸最深的就是其實貪心演算法的策略我們一直都在使用，貪心演算法並不是什麼特別難懂的演算法，只需要我們找到貪心選擇的策略，再證明它是否可行，證明可行後使用貪心演算法能夠有效又高效率地解決問題。這次結對程式設計效果沒有上一次的好，原因在於我們的思維限制在了一點上，其實可以兩個人分別想出不同的貪心策略再檢驗是否可行，當一種策略不可行就馬上換下一種。還有不足就是我還不能很好地證明自己的貪心選擇策略，不能有理有據地向大家展示出來，導致自己做題的時候覺得可行，但其實自己也不太清楚其原因。

演算法第四章上機實踐報告

演算法第四章上機實踐報告

第四章演算法上機實踐報告

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