最大子陣列問題

問題分析：在乙個長為ｎ的陣列ａ[1..n]中，找到這樣的i、j，使ａ[i...j]中元素的和最大，稱ａ[i...j]為最大子陣列。

演算法一（分治思想）：

陣列ａ[low...high]的最大子陣列必然滿足三種情況：

１）子陣列在ａ[low...mid]中；

２）子陣列在ａ[mid+1,high]中；

３）子陣列跨越中點mid。

因此可以使用遞迴分治方法計算find_max(a, low,  high)，其中滿足：

find_max(a, low, high)　＝　max(find_max(a, low, mid), find_max(a, mid+1, high), cross_max(a, low, mid,  high))

cross_max(a, low, mid, high)是為了找到子陣列跨越中點時的最大情況。

使用c++實現，**如下：

#includeusing

namespace
std;
#define len 10
//定義輸出資訊資料結構，輸出子陣列左右下標，以及元素和
typedef struct
info*info, info1;
//建立輸出結構info
info createinfo(int a, int low, int
high)
//子陣列跨越中點時的最大情況
info find_cross_max(int a, int low, int mid, int
high)
}sum = 0
; 　　
for(int i=mid+1;i<=high;i++)
}return
createinfo(a, left, right);}//
遞迴呼叫該函式，用分治法尋找最大子陣列
info find_maximum_subarray(int a, int low, int
high)
}int
main();
info max_subarray = find_maximum_subarray(a, 0, 9
);　　
out<<"
左下標為:
"右下標為:
"子陣列大小為:
"return0;
}

演算法二（線性複雜度）：

對於陣列ａ[1...n]，從左到右遍歷陣列，記錄目前為止處理過的最大子陣列，直到遍歷完整個陣列，具體思路如下：

對於1<=j<=n，記錄ａ[1...j]的最大子陣列和最大ａ[i...j]的值，那麼ａ[1...j+1]的最大子陣列為下面３種情況之一，取最優即可：

１）ａ[1...j]的最大子陣列

２）ａ[i...j]＋ａ[j+1]

３）ａ[j+1]

具體c++程式實現：

#include#define len 10

using
namespace
std;
void find_max_array(int a,int low,int
high)
else
if(sum1}
cout
<<"
左下標為：
"cout
<<"
右下標為：
"cout
<<"
子陣列和為：
"}int
main();
find_max_array(a,
0,len-1
); 
return0;
}

總結：分治方法可能會得到演算法複雜度低於暴力求解的演算法，對於某些問題，分治策略雖然能給出較優演算法，但不使用該策略甚至可以能做得更好，該問題就是很好的例子。

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