練習 1.13 證明fib(n)是最接近 φn/√5的整數，其中φ=(1+√5)/2.提示利用歸納法和費波拉契數列定義，證明fib(n)=(φn-γn)/√5.
斐波拉契數列定義：
| 0 n=0
fib(n) = | 1 n=1
| fib(n-1) + fib(n-2) n>1.
假設存在fib(n)=(φn-γn)/√5，
則 n=0時，(φn-γn)/√5 = 0，
n=1時，(φn-γn)/√5 = 1
所以有 γ = (1-√5)/2.
證：令 f(n) = (φn-γn),
那麼f(n-1) + f(n-2) = (φn-1-γn-1) + (φn-2-γn-2)
= (φ + 1) φn-2 - (γ + 1) γn-2
代入 φ=(1+√5)/2，γ = (1-√5)/2
= ((3+√5)/2) φn-2 - ((3-√5)/2) γn-2
= φ2 * φn-2 - γ2 * γn-2
= φn
- γn
= f(n)
綜上所述f(n)遞推關係與fib(n)相同，且當 f(n)/√5 在n=0,1時與fib值相同
所以fib(n)=(φn-γn)/√5.
fib(n)是最接近 φn/√5的整數，其中φ=(1+√5)/2.
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