試題 演算法訓練 奇異的蟲群 矩陣快速冪

問題描述

在乙個奇怪的星球上駐紮著兩個蟲群a和b，它們用奇怪的方式繁殖著，在t+1時刻a蟲群的數量等於t時刻a蟲群和b蟲群數量之和，t+1時刻b蟲群的數量等於t時刻a蟲群的數量。由於星際空間的時間維度很廣闊，所以t可能很大。overmind 想知道在t時刻a蟲群的數量對 p = 1,000,000,007.取餘數的結果。當t=1時 a種群和b種群的數量均為1。

輸入格式

測試資料報含乙個整數t，代表繁殖的時間。

輸出格式

輸出一行，包含乙個整數，表示對p取餘數的結果

樣例輸入

10

樣例輸出

89

樣例輸入

65536

樣例輸出

462302286

資料規模和約定

對於50%的資料 t<=10^9

對於70%的資料 t<=10^15

對於100%的資料 t<=10^18

思路：求斐波那契數列第n項，但是資料範圍太大，o(n)的時間複雜度會超時。

樸素的求斐波那契數列會超時

#include using

namespace
std; 
const
int mod = 1000000007
;typedef 
long
long
ll;int
main() 
cout 
<< a <
return0;
}// 超時**

#include using

namespace
std; 
typedef 
long
long
ll;ll mul(ll a, ll b, ll p)
return
ans ;
}int
main() 

#include #include 

#include 
#include 
using
namespace
std; 
typedef 
long
long
ll;const
int n = 105, mod = 1000000007
;int
n;ll k;
struct
mat inline 
void build() //
建造單位矩陣
}mat;
mat 
operator * (const mat &x, const mat &y) //
過載運算子
intmain() 
for (int i = 1; i <= n; i ++)
return0;
}

f(n)=f(n-1)+f(n-2)

第二步是建立矩陣遞推式，找到轉移矩陣:

,簡寫成t * a(n-1)=a(n)，t矩陣就是那個2*2的常數矩陣，而

這裡就是個矩陣乘法等式左邊:1*f(n-1)+1*f(n-2)=f(n);1*f(n-1)+0*f(n-2)=f(n-1);

所以這裡相乘就是矩陣n-1次相乘,然後輸出第一行第二個元素,也就是a[0][1]；

把第乙個矩陣設為a，第二個矩陣設為b，第三個矩陣設為c。

總而言之 ：最終斐波那契數列可以從矩陣中對應此公式

由 f2  f1  f1 f0   組成的矩陣的n次方  的左下角就是fn。

所以可以上**

注：此題和標準的斐波那契數列(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, ...)有不同處

標準的即f0=0,f1=1,f2=1,f3=2  而此題中f1=1,f2=2

所以我們最後實則應該求f的n+1項

#include #include 

#include 
#include 
using
namespace
std; 
typedef 
long
long
ll;const
int mod = 1000000007
;ll n, k;
struct
mat inline 
void
build()
}base
;mat 
operator * (const mat &x, const mat &y)
intmain() 
cout 
<< ans.a[0][0] <
//cout << ans.a[1][0] << endl; 注意這一道題的f1=1 f2=2 和標準的斐波那契數列有一定區別
return0;
}

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