題目描述
有 $n$ 個無區別的鎖， $n$ 把無區別的鑰匙都被藏， $m$ 個藏鑰匙的地方，每個藏鑰匙的地方最多藏 $a_i$ 個鑰匙，並且這個地方被發現的概率為 $p_i$ ，求所有藏鑰匙的方案能夠找到至少 $n$ 個的概率之和。
資料範圍
所有測試資料滿足 $1 \leq m \leq 100,1 \leq n \leq n \leq \sum a_, 1 \leq n, a_ \leq 10^, 1 \leq d \leq 10^, 0 \leq p_<998244353,n \leq 100 d, d |\left(a_+1\right)$ ，但並不保證 $d | n$ 或 $d | n$ 。
題解
orzsz
有個關鍵資訊是 $d |\left(a_+1\right)$ 和 $n \leq 100 d$ ，所以我們可以先對每個藏鑰匙的地方分配 $d$ 倍的鑰匙數量，然後每個位置最終只能再放 $[0,d)$ 把鑰匙。然後我們考慮如果我們知道了每個位置第一步分配的情況，那後面再分配的話我們需要知道被發現的位置一開始分配了多少，這樣才能夠去保證這些被發現的位置鑰匙之和至少為 $n$ 。
所以我們考慮 $\text$ ： $f[x][i][j][k]$ 表示前 $x$ 個地方，有 $k$ 個位置最後會被發現，這 $k$ 個位置總共分配了 $j \times d$ 把鑰匙，這 $x$ 個位置總共分配了 $i \times d$ 把鑰匙。轉移顯然。
然後假設第一步分配後還有 $x$ 把鑰匙沒有被分配，被發現的 $k$ 個位置中還差 $y$ 把鑰匙達到 $n$ 。我們可以把這 $k$ 個位置放在前面，考慮先分配 $y$ 把鑰匙在這 $k$ 個位置上。由於 $m$ 很小，且鑰匙無序，所以可以列舉 $u$ 表示第 $y$ 把鑰匙放在 $u$ 上，且 $y-1$ 把鑰匙放在了 $u$ 及之前， $x-y$ 把鑰匙放在 $u$ 及之後的位置，如果我們不考慮分配不小於 $d$ ，那就可以隔板法。不小於 $d$ 的話考慮容斥，可以考慮在原本 $\text$ 的時候就進行容斥，即轉移的時候考慮這個位置之後分配會不小於 $d$ 的話，那就強制這個位置多選乙個 $d$ 容斥轉移即可。這樣後面再分配直接隔板就可以了。
效率： $o(m^2 \times (\frac)^2)$ 。
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