洛谷P4705 玩遊戲

題目描述

題解

首先對於 $k\in[1,t]$ 我們列出其答案的式子：$$ans_k=\frac^n \sum_^m (a_i+b_j)^k}$$

觀察分子的式子，把它用二項式定理展開：

$$=\sum_^k\sum_^n\sum_^m(_k^x)a_i^xb_j^$$

$$=k!\sum_^k(\sum_^n\frac)(\sum_^m\frac})$$

這兩個括號裡的式子是等價的，所以我們考慮怎樣快速求出對於每個 $k\in[1,t]$ ， $\sum_^na_i^k$

於是我們假設對於每個 $i\in[1,n]$ ， $$f_i(x)=\sum_^a_i^jx^j

$$ 那上述式子就是 $$(\sum_^nf_i(x))[x^k]$$

然後做一些轉化：$$f_i(x)=\frac$$

然後我們發現 $$(\ln(1-a_ix))'=\frac$$

設 $g_i(x)=\frac$ ，那麼 $$f_i(x)=-x\times g_i(x)+1$$

所以 $$sum_f(x)=-x \times sum_g(x)+n$$

所以我們考慮怎麼算出 $sum_g(x)$

$$sum_g(x)=\sum_^ng_i(x)$$

$$=\sum_^n(\ln(1-a_ix))'$$

$$=(\ln(\prod_^n(1-a_ix)))'$$

於是我們可以分治+ $ntt$求出累乘的式子即可

效率： $o(nlog^2n)$

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