數值分析 第三章 共軛梯度法

2022-09-01 06:03:11 字數 1259 閱讀 5404

摘要:通過變分原理,將ax=b構造成乙個函式,通過對函式的操作,求解ax=b的解。

1.通過建構函式(變分法),求解方程的解。對於常係數方程2x=2,很容易看出解為1,但是通過構造如何求解

f(x)=x^2-2x

該方程的導數f『(x)=2x-2=0時,x的解就是2x=2的解。

對於計算機迭代求解,找到f(x)的極值點,就找到了該解。

2.變分原理(構造乙個函式,其導數是ax=b)

分解一下:下面公式是線性代數中的正定二次型(《線性代數》高等教育出版社 第五版)

偏導數(梯度)就是ax=b

換言之,當w(x)取得極值的時候,對應導數=0。

3.最速梯度法(梯度下降發):利用迭代求多元二次函式的極值點。極值點的一階導數=0.

梯度下降法應用比較廣泛,當前熱點人工智慧的底層勻速基礎,就是採用的這個演算法。理論推導及示例這裡就不囉嗦了。

4.共軛梯度下降法:

公式推導就不貼出來了(貼出來也很費解),直接用乙個例項,進行說明。

1.先判斷這個值是否是極值點,偏導數是否是零(近似數)

2.在初始值的基礎上,x向什麼方向移動,可以使函式的值變小(不斷迭代,尋找最小值)

當步長a=1/3時  w(x)向更小值移動一步。

重複上面的步驟,可得到w(x)的極小值點,也就是ax=b的解。

【理論推導 ,見《數值分析》】

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