JZOJ4249 遊戲 貪心

2022-09-01 10:51:15 字數 1959 閱讀 4759

乙個長度為n

n的數列,每次可以選擇前面任意乙個位置i

i跳到那裡,價值為ai×

(i−a

i​×(

i−你所在的位置)

)。求跳到n

n的最大價值。

證明:每次選擇max

max 其中j

j 表示你所在的位置。

先設起點是0。

那麼假設i

i是最大價值的點,但是最優解應該先跳到j

j,且下一次將跳到k

k,且j

<

i<

i那麼從0跳到j

j的價值是j×a

jj×a

j​,跳到i

i的價值是i×a

ii×a

i​。從j

j跳到k

k的價值是(k−

j)ak

(k−j

)ak​

,從ii

跳到kk

的價值是(k−

i)ak

(k−i

)ak​

。明顯從j

j跳到k

k的價值比從i

i跳到k

k的價值大(i−

j)ak

(i−j

)ak​

。那麼如果i×a

i−j×

aj>(i

−j)a

ki×a

i​−j

×aj​

>(i

−j)a

k​,那麼跳到i

i是更合法的。

移項,只要i×a

i>(i

−j)a

k+j×

aji×

ai​>(i

−j)a

k​+j

×aj​

就更合法。設t=

max(

ak,a

j)t=

max(

ak​,

aj​)

,有(i−j

)ak+

j×aj

≤(i−

j)t+

j×t(

i−j)

ak​+

j×aj

​≤(i

−j)t

+j×t

不等號右側合併同類項得(i−

j)ak

+j×a

j≤(i

−j+j

)t(i

−j)a

k​+j

×aj​

≤(i−

j+j)

t,即(i−

j)ak

+j×a

j≤ti

(i−j

)ak​

+j×a

j​≤t

i因為a

i>ta

i​>

t(已經假設i

i是最大價值的點),所以i×a

i>ti

i×ai

​>ti

所以有i×a

i>ti

≥(i−

j)ak

+j×a

ji×a

i​>ti

≥(i−

j)ak

​+j×

aj​證畢。

那麼直接單調佇列記錄最大值即可。

#include

#include

#define mp make_pair

using

namespace std;

int n,ans,x,y,last;

dequeint,

int>

> q;

intmain()

while

(q.size()

)printf

("%d\n"

,ans)

;return0;

}

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