演算法筆記 1 判斷乙個數是否為質數

1、質數的定義為如下兩條：

2、實現

（1）設給定的乙個數為 x 

，從2開始遍歷到 x-1

，判斷該數能否整除這些數。

1

defis_prime(x):
2if x == 1:
3return
false
4for i in range(2, x):
5if x % i ==0:
6return
false 
7return true

（2）其實無需從2到x-1遍歷，而是只需要從2遍歷到√x即可。其原因是，假設x是合數，那麼他可以寫成兩個整數的積，即：x

= a × b

，則必定有 a

≤ √x

且 b≤ √x，

因此可以將複雜度進一步降低。

1

def isprime(self, n: int) ->bool:
2if n == 1:
3return
false
4 tmp = n ** 0.5
5for i in range(2, int(tmp) + 1):
6if n % i ==0:
7return
false
8return true

（3）其實質數還有乙個特點，就是它總是等於 6n+1 或者 6n+5，其中 n 是大於等於1的自然數。這條也是很好被證明的，假設 y = x % 6，y 無非就是以下幾種情況：0, 1, 2, 3, 4, 5

y01

2345

備註被6整除

被2整除

被3整除

被2整除

合數/質數

合數合數

合數合數

因此我們有如下推論：

對於第二條推論也很好證明：

（2）中我們遍歷了 [2，√x ] 中的所有數，依次判斷了 x 能否除盡這些數。但是是否真的有必要逐個判斷呢？我們把 [2，√x ] 中的所有數按模6的餘數分為以下6類：6n， 6n+1，6n+2，6n+3，6n+4，6n+5。

假設 x 能除盡 6n， 6n+2，6n+4，那麼 x 必然是乙個偶數，但是根據第一條推論，如果 x 是質數則 x = 6n+1 或者 6n+5，顯然 x 也必然是奇數，這與 x 是偶數矛盾，所以假設 x 是質數，則 6n， 6n+2，6n+4 不必判斷也知道是除不盡的。

6n+3也同理。換言之我們只需要檢查 [2，√x ] 中 6n+1，n ≥ 1 或者 6n+5，n ≥ 0 是否是 x 的約數即可。如果都不能整除則 x 是質數，否則為合數。

1

defis_prime(x):
2if x == 1:
3return
false45
if x % 6 != 1 or x % 6 != 5:
6return
false
78 root = int(x ** 0.5)
9for i in range(5, root+1, 6):
10if x % i == 0 or x % (i+2) ==0:
11return
false
1213
return true

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