關聯：0 複習與引申
線性空間與線性變換是線性代數中最基本的兩個概念，它們分別是\(n\)維向量空間\(f^n\)與線性變換\(y=ax\)的推廣。
線性空間的性質：求基和維數的一些例題：
如題：在數域中，均為n維向量，那就讓每一位分別為1（就像構築座標軸那樣），於是維數就是n，基就是分別為1其餘為0的各個n維向量
如題：在資料中，均為\(2*2\)矩陣，依然是讓每一位分別為1的思路，如\(e_\)、\(e_\)、\(e_\)、\(e_\)即可構築乙個基，進而得到維數為4
由此可以類推到\(s*n\)階的矩陣情況下。座標要與基在一起才有意義。
最後要把a、b、c、d豎起來作為座標結果。
核心思想其實就是這樣豎起來，變成座標，然後行初等變換就可以求基了。注意這裡由\(e\)到\(α\)是經過過渡矩陣\(a\)，所以有\(α\)到\(e\)就需要經過過渡矩陣\(a\)的逆，然後由\(e\)再到\(β\)經過過渡矩陣\(b\)，這樣即可達成從\(α\)到\(e\)再到\(β\)的串聯，即\(a^b\)。要證明\(w\)是\(v\)的子空間，首先說明\(w\)不空，再證明\(w\)對\(v\)的兩種運算封閉即可。由此引出了下面的座標變換公式。
從幾何的角度理解：若空間構成的平面或直線經過原點，則它構成子空間，否則由於不封閉，無法構成子空間。因此求生成子空間的基和維數，就等價於求該生成子空間向量組的極大線性無關組和秩（即，極大線性無關組向量的個數）。線性空間中一組線性無關的向量可以結合其餘向量構成該線性空間的基。知道基自然也就知道維數了。求出使\(\xi=x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+…+x_r \alpha_r=y_1 \beta_1+y_2 \beta_2+…+y_s \beta_s\) 的極大無關組\(\xi_1，\xi_2，…，\xi_k\)，就是\(v_1∩v_2\)的基。求\(v_1∩v_2\)的維數可以用維數定理：\(dimv_1+dimv_2=dim(v_1+v_2)+dim(v_1∩v_2)\)
也就是可以通過求和的維數來迂迴的求交的維數。證明 \(w=w_1 \oplus w_2\)：首先證明\(w=w_1+w_2\)，其次證明\(w_1∩w_2=\left\\) 或者 \(dimw=dimw_1+dimw_2\)。並集（和）線性無關即為直和；可以簡單的理解為：交為空，並為全。
dimv有限時，f ∈ hom(v,v)，則\(f\)可逆\(\leftrightarrows\)\(f\)是單射\(\leftrightarrows\)
\(f\)是滿射
理解對映時可以把對映理解為矩陣，在計算等很多方面也很類似（關聯到線性對映的矩陣）。線性變換的運算包括數乘和求和。這裡比較重要的就是值域和核的概念。
\((fg)h=f(gh)\)
\(f(g+h)=fg+fh\)
\((g+h)f=gf+hf\)
注意乘法不滿**換律。這裡就和相似矩陣的定義相關聯。也就是說求線性變換在一組基下的矩陣有兩種求法：①直接求法和②間接求法，間接求法指的就是這裡的\(b=p^ap\)\(dimr(f)+dimk(f)=dimv\)，即值域的維數+核的維數=線性變換的維數。求出矩陣\(a\)的極大無關組，再與基\(\alpha_1，\alpha_2，…，\alpha_n\)相乘即可得到值域\(r(t)\)的一組基；
求出齊次線性方程組\(ax=0\)的基礎解系，再與\(\alpha_1，\alpha_2，…，\alpha_n\)相乘即可得到核\(ker(t)\)的一組基
核心在於求出線性變換在基下的矩陣，然後將矩陣通過初等行變換化為行最簡型，將極大無關組/基礎解系與基相乘即可得到對應的結果。值域和核均為不變子空間，且剛好可以作為乙個線性空間的直和分解。引入不變子空間是為了簡化線性對映的矩陣的表示形式。因而較為重要的部分就是將線性空間分解為兩個不變子空間的直和，然後就可以簡化矩陣的表示。（常拆成值域和核）雙射+線性對映→線性空間同構、該對映為同構對映如何理解線性變換線性空間與線性變換
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