區間修改，查詢之樹狀陣列

方法：

①單點修改，單點查詢

（這個沒什麼好說的，就是單純的陣列）

②單點修改，區間查詢

樹狀陣列：樹狀陣列能單點修改，並且區間1 ~ n的和，區間查詢只需要用到字首和的思想就可以了。

線段樹：√

③區間修改，單點查詢

差分：區間修改只需改變兩個值，單點查詢時求一遍字首和。

樹狀陣列 + 差分：在進行修改的時候匯入的數是差分的值，最後樹狀陣列求和其實就是求一遍字首和答案過程。

線段樹：√

④區間修改，區間查詢

樹狀陣列：區間修改依舊是要將原陣列進行差分。區間查詢需要維護兩個字首和陣列。

原本的差分陣列為b陣列，b的字首和陣列是a陣列。

線段樹：√

複雜度：

差分：修改$o(1)$, 查詢$o(n)$。

樹狀陣列：修改$o(logn)$, 查詢$0(logn)$。

線段樹：修改$o(logn)$, 查詢$0(logn)$。

acwing 241.樓蘭圖騰

樹狀陣列處理大於小於數字的個數

該題的思路就是預處理每乙個點前面大於該點的數量，後面大於該點的數量，相乘即為v的個數。同理，對於倒v也是一樣，處理的是小於的值。

容易想到用樹狀陣列做，先從正面掃一遍，預處理兩個陣列up和down。然後再從後面掃一遍，用之前預處理的陣列與之相乘即為答案。時間複雜度$o(nlogn)$。

1 #include 2 #include 3 #include 4

5using
namespace
std;
67 typedef long
long
ll;8
9const
int n = 200010;10
11int
tr[n], a[n];
12int
up[n], down[n];
13int
n;14
15int lowbit(int
x)16
1920
void add(int x, int
c)21
2425
int sum(int
x)26
3132
intmain()
4344 memset(tr, 0, sizeof
tr);
4546 ll res1 = 0, res2 = 0;47
for(int i = n ; i >= 1 ; i --)
4854
55 cout << res1 << "
"<< res2 <
56return0;
57 }

差分與樹狀陣列的結合，樹狀陣列本身可以求解單點修改，區間查詢的任務。和差分結合起來，將樹狀陣列中儲存的值改為差分的值，那麼就可以求解區間修改，單點查詢的任務。

1 #include 2 #include 3 #include 4

5using
namespace
std;67
const
int n = 1e5+10;8
9int
a[n], tr[n];
10int
n, m;
1112
int lowbit(int
x)13
1617
void add(int x, int
c)18
2122
int sum(int
x)23
2829
intmain()
46else
4753}54
55return0;
56 }

b為a的差分陣列，同樣，對於單點查詢查詢點x來說為$\sum_^b_i$，所以對於區間$1-x$的查詢為$\sum_^\sum_^b_i$。

顯然這是不能直接求解的。將其的各項羅列出來：

$b_1$

$b_1 + b_2$

$b_1 + b_2 + b_3$

$\cdot \cdot\cdot \cdot\cdot \cdot$

$b_1 + b_2+b_3 + b_4 +\cdot \cdot\cdot \cdot b_x$

然後將其對稱：

$ }$

$b_1+ }$ 

$b_1 + b_2+}$

$b_1 + b_2 + b_3+}$

$\cdot \cdot\cdot \cdot\cdot \cdot$

$b_1 + b_2+b_3 + b_4 +\cdot \cdot\cdot \cdot b_x$

所以黑色的部分為我們要求的和，那麼整個方形相加的和為$x*sum_1(x)$, 所求的面積的和是$x * sum_1(x) - (b_1 + 2b_2 + 3b_3 +\cdot \cdot\cdot \cdot + xb_x)$。

因此我們再處理乙個差分陣列是$ib_i$的樹狀陣列，區間查詢$1-x$的結果就為$x * sum_1(x) - sum_2(x)$。

樹狀陣列**：

1 #include 2 #include 3 #include 4

5using
namespace
std;
67 typedef long
long
ll;8
9const
int n = 1e5+10;10
11int
a[n];
12ll tr1[n], tr2[n];
13int
n, m;
1415
int lowbit(int
x)16
1920
void add(ll tr, int
x, ll c)
2124
25 ll sum(ll tr, int
x)26
3132 ll get_sum(int
x)33
3637
intmain()
3849
50while(m --)
5161
else
6270}71
72return0;
73 }

1 #include 2 #include 3 #include 4

5using
namespace
std;
67 typedef long
long
ll;8
9const
int n = 100010;10
11int
n, m;
12int
w[n];
13struct
nodetr[4 *n];
1718
void pushup(int
u)19
2223
void pushdown(int
u)2432}
3334
void build(int u, int l, int
r)35;37
else38;
40int mid = l + r >> 1
;41 build(u << 1, l, mid), build(u << 1 | 1, mid + 1
, r);
42pushup(u);43}
44}4546
void modify(int u, int l, int r, int
d)47
53else
5461}62
63 ll query(int u, int l, int
r)64
7475
76int
main()
93else printf("
%lld\n
", query(1
, l, r));94}
9596
return0;
97 }

樹狀陣列之區間修改，單點查詢

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