連續隨機變數的條件分布

2022-09-13 21:36:12 字數 596 閱讀 1206

設二維連續隨機變數 $(x,y)$ 的聯合密度函式為 $p(x,y)$, 邊際密度函式為 $p_x(x), p_y(y).$ 其條件分布函式為 $p(x\leq x |y=y)$. 則有

$p(x\leq x|y=y)=\lim_p(x\leq x|y\leq y \leq y+h)$

$=\lim_\frac$

$=\lim_ \frac^x\int_^p(u,v)***u}^p_y(v)dv}$

$=\lim_\frac^x\\int_y^p(u,v)dv\}du}\int_y^p_y(v)dv},$

當 $p_y(y), p(x,y)$ 在 $y$ 處連續時,由積分中值定理可得

$\lim_\frac\int_^p_y(v)dv=p_y(y),$

$\lim_\frac\int_y^p(u,v)dv=p(u,y).$

所以$p(x\leq x|y=y)=\int_^x\fracdu.$

$\textbf:$ 對一切使得 $p_y(y)>0$ 的 $y,$ 給定 $y=y$ 條件下 $x$ 的條件分布函式和條件密度函式分別為

$f(x|y)=\int_^x\fracdu,$

$p(x|y)=\frac.$

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