卷積這個概念，很早以前就學過，但是一直沒有搞懂。教科書上通常會給出定義，給出很多性質，也會用例項和圖形進行解釋，但究竟為什麼要這麼設計，這麼計算，背後的意義是什麼，往往語焉不詳。乙個公式倘若倘若給不出結合實際的直觀的通俗的解釋（也就是背後的「物理」意義），就覺得少了點什麼，覺得不是真的懂了。
教科書上一般定義函式 $f, g$ 的卷積 $f * g(n)$ 如下:
連續形式:
$(f * g)(n)=\int_^ f(\tau) g(n-\tau) d \tau$
離散形式:
$(f * g)(n)=\sum_^ f(\tau) g(n-\tau)$
這兩個式子有乙個共同的特徵：
$n=\tau+(n-\tau)$
這個特徵有什麼意義？
我們令 $x=\tau, y=n-\tau $ ，那麼 $x+y=n $ 就是下面這些直線:
如果遍歷這些直線，就好比，把毛巾沿著角卷起來：
離散卷積的例子：丟骰子
我有兩枚骰子，把這兩枚骰子都丟擲去，求兩枚骰子點數加起來為 4 的概率是多少?
這裡問題的關鍵是，兩個骰子加起來要等於 4，這正是卷積的應用場景。
我們把骰子各個點數出現的概率表示出來:
那麼，兩枚骰子點數加起來為4的情況有：
因此，兩枚骰子點數加起來為4的概率為：
$f(1) g(3)+f(2) g(2)+f(3) g(1)$
符合卷積的定義，把它寫成標準的形式就是：
$(f * g)(4)=\sum \limits_^ f(4-m) g(m)$
連續卷積的例子：做饅頭
樓下早點鋪子生意太好了，供不應求，就買了一台機器，不斷的生產饅頭。
假設饅頭的生產速度是 $f(t)$ ，那麼一天後生產出來的饅頭總量為:
$\int_^ f(t) d t$
饅頭生產出來之後，就會慢慢腐敗，假設腐敗函式為 g(t) ，比如，10個漫頭，24小時會腐敗：
$10 * g(t)$
想想就知道，第乙個小時生產出來的饅頭，一天後會經歷24小時的腐敗，第二個小時生產出來的饅 頭，一天後會經歷 23 小時的腐敗。
如此，我們可以知道，一天後，饅頭總共腐敗了:
$\int_^ f(t) g(24-t) d t$
這就是連續的卷積。
通俗易懂的解釋卷積
著作權歸作者所有。有那麼麻煩嗎？不推薦用 反轉 翻轉 反褶 對稱 等解釋卷積。好好的訊號翻轉了是什麼意義？導致學生難以理解卷積的物理意義。國內的大多數教材在這一點上沒有講透。直接看圖，不信看不懂。以離散訊號為例，連續訊號同理。就四個字 平移 可沒有反褶哈 疊加。從這裡，可以看到卷積的重要的物理意義是...
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