對於乙個序列 \(a_,a_,\cdots\)，我們稱：
\[g(x)=\sum_^a_x^
\]為序列 \(a\) 的 \(\mathbf\) 即普通生成函式 (\(\texttt\))。
同時因為我們不關心 \(x\) 的取值，因此 \(\sum_^a_x^\) 又稱作以 \(x\) 為自由元的形式冪級數。 -- 摘自 自為風月馬前卒舉個例子，序列：
\[\left(^_\right),\left(^_\right),\cdots,\left(^_\right)
\]的 \(\mathbf\) 為（二項式定理）：
\[g(x)=(1+x)^
\]由等比數列求和公式，有乙個常用的等式：
\[\sum_^x^=\frac}
\]因為指數為 \(\infty\)，所以 \(x^\) 趨近於 \(0\)，箭頭方向隨便打，因為我們並不關心 \(x\) 的取值。
即\[\sum_^x^=\frac
\]這個等式還有乙個重要的運用，我們把 \(x\) 替換成 \(kx\) 即可得：
\[\sum_^(kx)^=\frac
\]後文的用 \(\mathbf\) 求序列的通項公式裡面這個東西很有用的。
定義乙個序列
\[f_=\begin
1,i\in[0,1] \\
\displaystyle
f_+f_,i\in[2,\infty)
\end
\]則我們稱 \(f\) 為 \(\texttt\) 序列。
接下來我們來推導其生成函式：
\[\begin
g(x)&=\sum_^f_x^ \\
g(x)&=1+x+2x^+3x^+\cdots \\
xg(x)&=x+x^+2x^+3x^+\cdots \\
x^g(x)&=x^+x^+2x^+3x^+\cdots
\end
\]這裡運用初中數學中經常用的到錯位相減這一小技巧，可得
\[g(x)-xg(x)-x^g(x)=1
\]即可得
\[g(x)=\frac}
\]至此，我們已經求出了 \(\texttt\) 序列的 \(\mathbf\) 了。
以前文提到的 \(\texttt\) 為例。
首先我們知道其 \(\mathbf\) 為：
\[g(x)=\frac}
\]待定係數一下分母我們就可以得到：
\[g(x)=\frac}x)(1-\frac}x)}
\]後面的還沒推出來，咕了
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