一、訊號與影象的稀疏表示
在dsp（數字訊號處理）中，有個很重要的概念：變換域（某個線性空間：一組基函式支撐起來的空間）
一般而言，我們的訊號都是在時域或空域中來表示，其實我們可以在其他變換域中通過某些正交基函式的線性組合來表示訊號。如：sinusoids, w**elets, curvelets, gabor functions,. . .
對於某個變換域或空間，其基函式是確定的，只要得到係數α的這一組值，即可通過該係數向量來表示訊號。
係數α的求解如下：
通過變換域的係數來表示訊號的意義：
很明顯，係數向量α的大小遠小於原始訊號，這個壓縮和降維的過程（稀疏性），有利於儲存、傳輸和處理。
如上圖所示，左邊為原始影象，右邊為dct變換後的影象。
該影象表示二維的頻率幅值係數，可以看出，右下角的大部分係數接近於0。也就是說影象的大部分能量都集中在左上角的低頻部分（稀疏性），因此我們只要保留左上角的資訊（壓縮），就可以很好地重建出左邊的影象（有損）。這也就是jepg影象壓縮標準的基礎：dct變換。dct重建（反變換）的影象特點：平滑區域表現很好，邊緣可能會模糊或出現振鈴（因為某些高頻訊號丟失）。
如上圖所示，左邊為原始影象，中間為尺度影象，右邊為小波變換後的係數結構係數框架：大係數很少，小係數很多（稀疏性）。
這也是jpeg2000壓縮標準的基礎：小波變換。小波變換重建（反變換）的影象特點：平滑區域表現很好，邊緣更加尖銳（在邊緣處理上，比dct好）。
這一部分主要介紹了變換域，以及訊號在變換域的稀疏表示，並以影象的dct和小波變換為例，來闡述訊號在變換域的稀疏性。
稀疏性的作用總結：
1.壓縮
2.去噪
3.降維
二、編碼測量
跟傳統採集不同，壓縮感知採集的不是畫素點，而是一組線性組合的測量值。下面的公式表示每乙個測量值yi的計算過程，f表示訊號，φ表示測量矩陣，兩者的內積之和即為yi。經過m次測量之後，即得到所需要的m個測量資料y。
問題是測量矩陣應該怎麼選擇呢？
為了能夠重構訊號，測量矩陣的選擇尤其重要，矩陣需要滿足與訊號的稀疏表示基ψ不相關。（rip性質）
實驗證明：高斯隨機矩陣、一致球矩陣、二值隨機矩陣、區域性傅利葉矩陣、區域性哈達瑪矩陣以及託普利茲矩陣等能在很大概率上滿足上述條件。
測量公式如下：
三、稀疏重建演算法
假設訊號是k-sparse，測量矩陣是高斯隨機矩陣，現在通過採集獲得了m個測量值，如何恢復出訊號？
測量過程：
重建過程：（數學建模：l1 minimization，也可以使用其他方法）
需要多少個測量值才能夠有效地恢復出訊號呢？乙個、兩個很明顯是不行的，n個顯然就沒有了壓縮的意義，那麼至少多少才合適呢？
下面的公式給出了乙個估計值：
變換域重建：
舉例：
壓縮感知簡介
nyquist取樣定理 夏農取樣定理 指出，取樣速率達到訊號頻寬的兩倍以上時，才能由取樣訊號精確重建原始訊號。可見，頻寬是nyquist 取樣定理對取樣的本質要求。然而隨著人們對資訊需求量的增加，攜帶資訊的訊號頻寬越來越寬，以此為基礎的訊號處理框架要求的取樣速率和處理速度也越來越高。解決這些壓力常見...
壓縮感知介紹
說明 本文是根據壓縮感知討論群裡面 180291507感興趣的同學可以加下，裡面大牛很多,大家加入到那個群裡面去，你會從裡面的大神那裡學習到不少東西的。的大牛ammy講解整理的 最初的壓縮感知是由candes donoho他們提出來的問題 最初壓縮感知那幾篇文章裡的模型 y x 模型一 都是從純數學...
壓縮感知 CS
壓縮感知 稍加思量就會發現，這種壓縮和解壓縮的不對稱性正好同人們的需求是相反的。在大多數情況下，採集並處理資料的裝置，往往是廉價 省電 計算能力較低的便攜裝置，例如 或者錄音筆 或者遙控監視器等等。而負責處理 即解壓縮 資訊的過程卻反而往往在大型計算機上進行，它有更高的計算能力，也常常沒有便攜和省電...