NOIP2017 寶藏 題解(狀壓DP)

2022-09-18 02:09:15 字數 2633 閱讀 6315

參與考古挖掘的小明得到了乙份藏寶圖,藏寶圖上標出了 nnn 個深埋在地下的寶藏屋, 也給出了這 nnn 個寶藏屋之間可供開發的m mm 條道路和它們的長度。

小明決心親自前往挖掘所有寶藏屋中的寶藏。但是,每個寶藏屋距離地面都很遠, 也就是說,從地面打通一條到某個寶藏屋的道路是很困難的,而開發寶藏屋之間的道路 則相對容易很多。

小明的決心感動了考古挖掘的贊助商,贊助商決定免費贊助他打通一條從地面到某 個寶藏屋的通道,通往哪個寶藏屋則由小明來決定。

在此基礎上,小明還需要考慮如何開鑿寶藏屋之間的道路。已經開鑿出的道路可以 任意通行不消耗代價。每開鑿出一條新道路,小明就會與考古隊一起挖掘出由該條道路 所能到達的寶藏屋的寶藏。另外,小明不想開發無用道路,即兩個已經被挖掘過的寶藏 屋之間的道路無需再開發。

新開發一條道路的代價是:l*k

l代表這條道路的長度,k代表從贊助商幫你打通的寶藏屋到這條道路起點的寶藏屋所經過的 寶藏屋的數量(包括贊助商幫你打通的寶藏屋和這條道路起點的寶藏屋) 。

請你編寫程式為小明選定由贊助商打通的寶藏屋和之後開鑿的道路,使得工程總代 價最小,並輸出這個最小值。

第一行兩個用空格分離的正整數n,m,代表寶藏屋的個數和道路數。

接下來m行,每行三個用空格分離的正整數,分別是由一條道路連線的兩個寶藏 屋的編號(編號為 1−n),和這條道路的長度 v。

乙個正整數,表示最小的總代價。

輸入 #1

4 5 

1 2 1

1 3 3

1 4 1

2 3 4

3 4 1

輸出 #1

4

輸入 #2

4 5 

1 2 1

1 3 3

1 4 1

2 3 4

3 4 2

輸出 #2

5

【資料規模與約定】

對於20% 的資料: 保證輸入是一棵樹,1≤n≤8,v≤5000v且所有的v都相等。

對於 40%的資料: 1≤n≤8,0≤m≤10000,v≤5000 且所有的v都相等。

對於70%的資料: 1≤n≤8,0≤m≤1000,v≤5000

對於100% 的資料: 1≤n≤12,0≤m≤1000,v≤500000

剛看到這道題的時候,大家大概都有兩種思路

不會狀壓的我,來一發爆搜,來一發模擬(模擬退火,搜尋剪枝等等)

來一發狀壓dp壓壓驚

本文本蒟蒻將主要講一下狀壓dp的做法

一般狀壓dp的n的範圍比較小,因為如果n大的話狀壓陣列也存不下,而這題一看n<=12,明顯是狀壓dp的資料範圍。那接下來就是美妙的設計狀態時間啦

根據題面:「l代表這條道路的長度,k代表從贊助商幫你打通的寶藏屋到這條道路起點的寶藏屋所經過的 寶藏屋的數量(包括贊助商幫你打通的寶藏屋和這條道路起點的寶藏屋) 。」可知答案與到達點在路徑中的深度有關且與之前連線的點有關

所以在一番思考後我決定令f[i][s]表示當前與根連通的點的狀態為s,並且最深的點的深度為i的最小代價

那該如何轉移呢?

轉移時,我們列舉所有不在s中的點,處理出每個點與s中的某個點連通所需要的最小代價。然後列舉這些點構成的所有集合s',用s'中所有點的代價+f[i][s]去更新f[i+1][s|s']即可。

最終的最優狀態就應該從走到每乙個點但最深深度不同的狀態中取,即min(f[i][1<=0&&i<=n]

這個轉移方程比較難寫,具體的就去看底下的**吧

想好了轉移就要想一下時間效率了

狀壓dp中列舉子集的時間效率應該為3n

(n元素集合的所有子集的子集大小之和是3n

可以證)

因為列舉補集和列舉子集是乙個道理,所以就是優雅的o(n*3n

)啦

#includeusing

namespace

std;

typedef

long

long

ll;int

n,m,tot,ans;

];int f[15][4100],g[4100],ref[4100],v[15],p[15

];int

main()

//建圖

for(i=0;i1

memset(f,

0x3f,sizeof

(f));

for(i=0;i0][1

<0

;

for(i=0;i//

開始dp

for(x=0;x<(1

<)

tot++;

}for(j=1;j<(1

<)

}ans=1

<<30

;

for(i=0;i<=n;i++) ans=min(ans,f[i][(1

<1]);//

最優狀態從走到每乙個點但最深深度不同的狀態中取

printf("%d"

,ans);

return0;

}

NOIP2017 寶藏 題解報告 狀壓dp

參與考古挖掘的小明得到了乙份藏寶圖,藏寶圖上標出了 n 個深埋在地下的寶藏屋,也給出了這 n 個寶藏屋之間可供開發的 m 條道路和它們的長度。小明決心親自前往挖掘所有寶藏屋中的寶藏。但是,每個寶藏屋距離地面都很遠,也就是說,從地面打通一條到某個寶藏屋的道路是很困難的,而開發寶藏屋之間的道路 則相對容...

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狀態壓縮好題。下面我們來一一分析一下這道題的總體想法。容易發現,n leq12 暗示這道題時間複雜度為指數級別的。由於題目表明 兩個已經被挖掘過的寶藏屋之間的道路無需再開發。所以,我們開發的路徑構成的只能是一棵樹,不能是有環的圖。因此,我們可以將題目抽象成 給定一張有 n 個點的圖,求出一棵生成樹 ...