證明三個簡單數學問題 啦啦啦

2022-09-18 13:18:12 字數 1228 閱讀 4764

第衣果:

如何證明gcd(a,b)=gcd(a+b,lcm(a,b))

設a=r1*k;b=r2*k;r1與r2互質

a+b=(r1+r2)*k;

gcd(a,b)=k;

lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)

=r1*r2*k*k/k=r1*r2*k;

所以gcd(a+b,lcm(a,b))=k;

故gcd(a,b)=gcd(a+b,lcm(a,b))

第鵝果:

如何證明gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b;

設x=gcd(a,b),y=lcm(a,b);

設a=m*x,b=n*x;

則y=m*n*x;

所以gcd(a,b)*lcm(a,b)=x*m*n*x;

a*b=m*x*n*x;

故gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b;

第山果:

如何證明1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+......+1/n不是整數

這裡說的的對任意乙個確定的正整數n,1+1/2+1/3+1/4+…+1/n不是整數,和極限沒有關係(用了極限也難以證明原結論)。

假定n>1(n=1時結論不成立)

假設1+1/2+1/3+1/4+…+1/n=m為整數,現在來推出矛盾。

設p=[1, 2, …, n]為1、2、……、n的最小公倍數(不是取n!),用p乘以上式兩邊,

p*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=p*m, ………………①

設k是滿足2^k≤n的最大正整數,即2^k≤n<2^(k+1)。

顯然2^k|p*m (n≥2, 2^k|p)。

下面證明p*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=p/1+p/2+…+p/n不是2^k的倍數,甚至不是2的倍數。

顯然p*1/i是整數(i=1,2,

… . n)。

把p分解因數,其中質因數2出現的次數為k(2^k≤n<2^(k+1),所以2^k|p;又因為p是最小公倍數,所以p的因數中恰好含有k個2)。故p/2^k不再含素因子2,即為奇數。

p/1、p/2、…、p/n這些數中,除p/2^k外,其餘各項都是2的倍數(因為分母的質因數中至多含有(k-1)個2,而分子含有k個2)。故p/1+p/2+…+p/n不是2的倍數(其中只有1個奇數,其餘都是偶數)。這與①式右邊為偶數矛盾。

其實第山果,我並不是太懂o(≧口≦)o啊啊啊

我三個月啦

我三個月啦 左直拳 我生下來已經三個多月了。情況還好,頭差不多可以完全抬起來,脖子也越來越穩固。不過醫生說我有點缺鈣,要多曬太陽。前一陣子天天下雨,難得有晴天,我只好整天悶在家裡,差不多發霉了。但是跟之前的 對比,我欣喜地發現自己的 變白了,粉嫩粉嫩的,簡直可以用白裡透紅來形容。同時我的兩塊臉蛋肥嘟...

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演算法筆記 簡單數學問題的題解

題目描述 乙個正整數有可能可以被表示為n 109 n 2 個連續正整數之和,如 15 1 2 3 4 5 15 4 5 6 15 7 8 根據輸入的任何乙個正整數,找出符合這種要求的所有連續正整數序列。輸入格式 乙個正整數。輸出格式 輸出符合題目描述的全部正整數序列,每行乙個序列,每個序列都從該序列...